y1


B

4
95


C

x2

y2

与焦点
F40的距离成等差数列（1）求证：x1x28；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴
的交点为T，求直线BT的斜率k（1）证略
（2）解
x1x28，设线段AC的中点为D4y0
又A、C在椭圆上，x12y121，（1）x22y221，（2）
259
259
12得：x12x22y12y22，
25
9
y1y29x1x29836x1x225y1y2252y025y0
直线DT的斜率kDT

25y036
，直线DT的方程为y
y0

25y036
x4
令
y

0，得
x

6425
，即T

6425

0

，直线
BT
的斜率k

905464

54

25
4确定参数的范围
例6若抛物线Cy2x上存在不同的两点关于直线lymx3对称，求实数
3
fm的取值范围解当m0时，显然满足
当m0时，设抛物线C上关于直线lymx3对称的两点分别为
Px1y1、Qx2y2，且PQ的中点为Mx0y0，则y12x1，（1）y22x2，（2）
12得：y12
y22

x1x2，kPQ

y1x1
y2x2

1y1y2

12y0
，
又kPQ


1m
，
y0

m2

中点Mx0y0在直线l

y

mx3上，y0

mx0
3，于是x0

52

中点M在抛物线y2x区域内

y02

x0
，即


m
2

2

5，解得2
10m
10
综上可知，所求实数m的取值范围是1010
5证明定值问题
例7
已知
AB是椭圆
x2a2

y2b2
1a
b0不垂直于x轴的任意一条弦，P是
AB的中点，O为椭圆的中心求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值
证明设Ax1y1Bx2y2且x1x2，
则x12a2

y12b2

1，（1）
x22a2

y22b2
1，（2）
1

2
得：
x12
a2
x22

y12y22b2
，

y1x1
y2x2
b2x1x2a2y1y2
，kAB

y1x1
y2x2
b2x1x2a2y1y2
又kOP

y1y2x1x2
，kAB
b2a2
1kOP
，kABkOP
b2
a2
（定值）
6处理存在性问题
例8已知双曲线x21y21，过B11能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q
2
4
f两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说
明理由
解假设这样的直线存在，设PQ的坐标分别为x1y1x2y2，则x1x22，
y1

y2

2，又x12

12
y12
1，（1）x22

12
y22
1，（2）
1

2
得：

x1

x2


x1

x2


12

y1

y2


y1

y2


0
，
2x1x2y1y20
PQ的斜率ky1y22x1x2
又直线l过PQB三点，l的方程为y12x1，即y2x1
但若将y2x1代入x21y21整理得方程2x24x30，而此方程无实数解，2
所以满足题设的直线不存在发表于《数理化解题研究》
5
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