项式为：pxee1e1x。23
3证明：切比雪夫多项式序列
Tkxcoskarccosx
在区间11上带权x11x2正交。（正交多项式的证明）
解：对于lk，有
11
TlTk1
coslarccosxcoskarccosxdx1x2
0
1


cosltcosktsi
tdtcosltcosktdt
1cos2t
0
1

2
cosl
0

kt

cosl

ktdt

12

l
1
k
si
l

k
t

l
1
k
si
l

kt0
0
对于lk，有
1
TkTk
1
1cos2karccosxdx1x2
0

1

cos2ktsi
tdtcos2ktdt
1cos2t
0

11cos2ktdt
20
12
t

12k
si
2kt0
2
故，序列Tkx在1，1上带权x
1正交。1x2
x1x23
4
求矛盾方程组：

x1

2x2

4的最小二乘解。（最小二乘法）
x1x22
解法一：求x1与x2，使得
fx1x2x1x232x12x242x1x222
达到最小。于是，令
10
f数值分析习题参考解答江世宏编
fx1

2x1

x2
32x1
2x2
42x1
x2
2
0
fx22x1x232x12x2422x1x2210
即：
32xx11

2x26x2

99
，其最小二乘解为：

x1x2

25714
。
06429
解法二：
11
3
11
2

1

x1x2


42
，记作
AX

b
，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组
AT
AX

AT
b
，即
32
2x1
6

x2


99
解之，得

x1x2

25714
。
06429
5已知一组试验数据
xk
2253
4
555
yk
4456
8
85
9
试用直线拟合这组数据计算过程保留3位小数。（最小二乘线性逼近）
解：作矩阵
12
4
125
45
13
6
A1
4

，
y


8

15
85
155
9
法方程为
ATAXATy
即
622
22905

ab

4016125
解得：a12288，b14831。
其直线拟合函数为y1228814831x。
11
f数值分析习题参考解答江世宏编
6用最小二乘原理求一个形如yabx2的经验公式使与下列数据相拟合
xk19253138
44
yk
（最小二乘二次逼近）解：等价于对数据表
x
2k
193234973397836162596114441936
yk
1932349
733
978
作线性拟合。其法方程组为：
55327
53277277699

ab

27143693215
解得：a09726，b00500
故经验公式为y09726005x2。
12
f数值分析习题参考解答江世宏编
姓名
第四章数值积分学号
班级
习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积
的计算，高斯公式的构造。
h
1给定求积公式fxdxafhbf0cfh试确定abc使它的代数精度尽可能h
高。（代数精度的应用和计算）
解：分别取fx1xx2，使上述数值积分公式准确成立，有；
abc2hahch0
ah2ch22h33
解得：ahb4hch。
3
3
3
故求积公式为hfxdxhfh4hr