2cd13a2bc1
解得：a1b4c4d1。
Hxx34x24x1
3
11设fxx2x014x11x294。1试求fx在1494上的三次埃尔米
特插值多项式Hx，使得Hxjfxjj012Hx1fx1，Hx以升幂形式
给出。2写出余项RxfxHx的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
解：
f
1

1
，
f
1
1，
f
9

27
，
f
x

3
1
x2
，
f
1

3
48
48
2
2
设Hxax3bx2cxd，Hx3ax22bxc
1

64
a

1b16

14
c

d

18
abcd1
729

64
a

81b16

94
c

d

278
3a

2b

c

32
7
f数值分析习题参考解答江世宏编
解得：a14，b263，c233，d1。
225
450
450
25
故Hx14x3263x2233x1。22545045025
Rx
3

52
x

1x
12x

9，其中，
1



9
。
128
4
4
44
12若fxc2abfafb0，试证明：
maxfx1ba2maxfx（插值余项的应用）
axb
8
axb
解：以fafb0为插值条件，作线性插值多项式，有
Lxxbfaxafb0
ab
ba
其余项为
RxfxLxfxfxaxb2
故maxfx1maxfxababab1ba2maxfx。
axb
2axb
2
28
axb
13设f21f01f22求px使pxifxii012；
又设fxM，则估计余项rxfxpx的大小。（插值误差的估计）
解：由插值条件，有
4a2bc1c14a2bc2
a18解得：b34
c1
从而px1x23x184
其余项为
rxfxpxfx2xx23
22
rxMx34xM16383M
6
69
27
8
f数值分析习题参考解答江世宏编
姓名
第三章函数逼近学号
班级
习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。
1设fxsi
x，求fx于01上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）
解：spa
1x
11

10
dx

1，
12


10
xdx

12
，22

10
x2dx

13

f
1

1
si
xdx
0

2
，
f
2

10
xsi
xdx


x
cosx

12
1
si
x
0

1
法方程组为

1

1
1
2
21
a1

a2


1

23

解得：a1

2
，a2

0
线性最佳平方逼近多项式为：2。
2令fxex1x1，且设pxa0a1x求a0a1使得px为fx于11
上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）
解：spa
1x
11

1
dx
1

2，12

1
xdx
1

0，22

1
x2dx
1

23
1
1
f1exdxee1，f2xexdx2e1
1
1
法方程组为
20
02
3

a1a2


ee1

2e1

解得：a1

12
e
e1，a2

e13
9
f数值分析习题参考解答江世宏编
线性最佳平方逼近多r