I
1

1


1

I

，其误差为
0

11

11
I1


11

11
I1



11

1

12
112

2

1



可见，初始误差
的绝对值被逐步减少了。
2
f数值分析习题参考解答江世宏编
姓名
第二章插值法学号
班级
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插
值余项的计算和应用。
1已知f12f11f21，求fx的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）
解法一（待定系数法）：设Lxax2bxc，由插值条件，有
abc2abc14a2bc1
解得：a16b12c43。
故Lx1x21x4。623
解法二（基函数法）：由插值条件，有
Lxx1x22x1x21x1x11111211122121
1x1x21x1x21x1x1
3
2
3
1x21x4623
2已知yxx04x19，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）
解：由插值节点与被插函数，可知，y042，y193，其线性插值函数为
Lxx92x431x6499455
7的近似值为L7761326。555
3若xjj01
为互异节点，且有
l
j
x

x
xj
x0xx1xx0xjx1xj
xj1xxj1xj
x
j1xx
xj1xjx



试证明
x
kj
l
j
x

xk
k01
。（拉格朗日插值基函数的性质）
j0
3
f数值分析习题参考解答江世宏编


解：考虑辅助函数Fx
x
kj
l
j
x

xk
，其中，
0

k



，
x



。
j0
Fx是次数不超过
的多项式，在节点xxi（0i
）处，有


Fxi
x
kj
l
j

xi


xik

xiklixixik

xik
xik
0
j0
这表明，Fx有
1个互异实根。


故Fx0，从而
x
kj
l
j
x

xk
对于任意的0

k


均成立。
j0
4已知si
0320314567si
0340333487si
0360352274，用抛物线插值计
算si
03367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）
解：由插值条件，其抛物线插值函数为
Lxx034x0360314567032034032036
x032x0360333487034032034036
x032x0340352274036032036034
将x03367代入，计算可得：L0336703304。
其余项为：rxsi
x032x034x036其中，0320363
rx1x032x034x0366
故误差的上界为：
r033671033670320336703403367036214107。6
5
用余弦函数cosx在x0

0，x1

4
，x2

2
三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值
多项式并近似计算cos及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗6
日二次插值）
解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为
4r