别点击“分段线性插值”“三次样条插值”、和“三次多项式插值”按钮出现如图6、图7和图8所示的窗口绘图区域显示的是相应插值结果图。“”号标识的点是依据输入的节点数确定的相应节点位置。图9显示的是依据已知节点拟合后的曲线图形。
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f图5原插值函数的图形
图6分段线性插值结果
图7三次样条插值结果
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f比较以上的计算过程和输出的图形结果可看出分段线性插值、三次样条插值和三次多项式插值虽然都属于一元低次插值但它们各有优缺点。分段线性插值简便易行当节点加密时分段线性插值的误差变小收敛性有保证。而且在分段线性插值中每个小区间上的插值函数只依赖于本段的节点值因而每个节点只影响到节点邻近的一、二个小区间计算过程中数据误差基本上不扩大从而保证了节点数增加时插值过程的稳定性。但是分段线性插值函数仅在有限区段上连续。一般地在节点处插值函数不可微这就不能满足有些工程技术问题的光滑度要求。
图8三次多项式插值结果
图9曲线拟合结果样条插值函数不仅连续而且有连续的曲率即二阶导数连续它能够满足许多工程技术中对插值函数提出的较高光滑性的计算要求。三次样条插值函数有较好的收敛性但其计算复杂稳定性不如分段插值。
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f多项式插值函数是插值法常用的近似函数计算简便只需用加、减、乘等运算而且其导数与积分仍为多项式。当次数较高时收敛性与稳定性均较差。相比之下三次多项式插值方法最占用内存而效果与三次样条插值差不多。
4、结束语
由CANAC软件包的编制和运行结果可知数值分析与计算中涉及到的解线性代数方程组、积分和微分、矩阵的分解和运算、矩阵的分析函数、多项式的求根和基本运算、函数的插值和数值逼近、数值积分和常微分方程数值解等问题都可以由CANAC软件包直接或间接地、轻易地得以解决。从编程来说CANAC软件包运行于Wi
dows环境下界面美观、程序简洁、功能强大从计算上来说它运算速度快、可实现的算法较多从操作上它操作简便简单易学只需根据实际情况输入插值函数表达式和插值节点数再点击相应的功能按钮就可达到预期效果。MATLAB几乎可以实现工程技术人员想实现的所有功能。
5、参考文献
【1】《数值分析基础第二版》关治陆金甫著，高等教育出版社，1998【2】《科学计算语言MATLAB简明教程》杜藏骆源著，南开大学出版社1998【3】《MATLAB语言演算纸式的科学工程计算语言》张培强著，中国科学技术大学出版社1995【4】《MATLAB5X应用与技巧》蒙r