是周期为2的周期函数，所以
f2008g200822008g022008220082007．
6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4
内壁的面积是
723
．
解如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面
A1B1C1平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体
PA1B1C1的中心，PO⊥面A1B1C1，垂足D为A1B1C1的中心．
因V
PA1B1C1
1SA1B1C1PD3
4VOA1B1C1
答12图1
f14SA1B1C1OD，3
故PD
4OD4r，从而POPDOD4rr3r．
记此时小球与面PAB的切点为P，连接OP，则11
PPPO2OP23r2r222r．11
考虑小球与正四面体的一个面不妨取为PAB相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为PEF，如答12图2．记正四面体1的棱长为a，过P作PM11因
⊥PA于M
．
∠MPP1
π
6
，有
PMPPcosMPP22r11
36r2
，故小三角形的边长
PEPA2PMa26r．1
小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
SPABSP1EF
又r
322aa26r232ar63r．4
1，a46，所以
SPABSP1EF24363183．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数
3．
答12图2
，求证：
fxsi
x的图像与直线ykxk0有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α
cosα1α2si
αsi
3α4α
．
证
fx
的图象与直线
ykx
k0的三个交点如答
π
13图所示，且在
3π内相切，其切点为Aαsi
α，23π．2
…5分由于因此
α∈π
答13图
，即α
3si
αf′xcosx，x∈ππ，所以cosα2α
ta
α
．
…10分
cosαcosαsi
αsi
3α2si
2αcosα14si
αcosα
…15分
f
14．解不等式
cos2αsi
2α4si
αcosα1ta
2α4ta
α1α24α
．…20分
log2x123x105x83x611log2x41．
解法一由1log2x
4
1log22x42，且log2y在0∞上为增函数，故原不等式等价于
x123x105x83x612x42．
即分组分解
x123x105x83x62x410．x12x10x82x102x82x64x84x64x4x6x4x2x4x210，
…5分
x82x64x4x21x4x210，
所以
…10分
x4x210，
x215215x0．22
2
…15分
所以x215，即x15或x
2
15．2
…20分
故r