仍然可导，则称其导数为函数


阶导数，记作
y
f
x或
dydx



，三阶导数也可以写为yfx
dydx
3
3
。
函数
fx具有

阶导数，也常说成函数y
fx
为
阶可导，如果函数
fx
在点x处具有
阶导数，那么它在点x的某一领域内必定具有一切低于
的导数，通常也把二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
定理3设uuxvvx在点处具有
阶导数，uxuxvxuxvx在点则
x
处也具有
阶导数且

kux
kux



uxvxuxvx

u



xv
i


x
i

c
i0
i

u
xv
x
13导数的几何意义
函数yfx在x0处的导数fx0的几何意义就是曲线yfx在对应点
Ax0fx0处的切线斜率
因此，曲线的切线方程有如下两种情况：（1）当fx0存在时，曲线yfx在点Ax0fx0处的切线方程为
yfx0fx0xx0，
2
f（2）当
xx0，
fx连续，fx0
，曲线yfx在点Ax0fx0处的切线方程为
过切点Ax0fx0且与切线垂直的直线方程为曲线yfx在点
Ax0fx0处的法线，因此法线方程有如下几种情况
（1）当fx0存在且不为0时，曲线yfx在点Ax0fx0处的法线方程为：
yfx01fx0xx0
（2）当fx00时，曲线yfx在点Ax0fx0处的法线方程为：xx0（3）当fx0时，曲线yfx在点Ax0fx0处的法线方程为：yfx0
14几类函数可导性的判别
1fx和
fx
在可导性上的关系
fx与fx
一般来说：
在xo可导性上能否互推，取决于
fx0是否为零。
更具有如下命题。命题1
fx00
时，
fx在xo
可导，则fx在xo可导。反之不成立。
fx与fx0同号。
事实上：fx在xo可导，fx在xo连续。因此在xo的某领域
从而fxfx，或fxfx。由此可知，fx在xo可导。反之，fx在xo可导，例如：fx
fx在xo
未必可导。
1x为有理数1x为无理数

而fx1说明fx可导，而
xo连续。则有fx在xo可导
fx不可导。如果在命题
1的基础上加上
fx在
命题2
若
fx00fx在xo
可导，且
3
fx在xo
连续，则
r