fx在xo
可导。
f事实上：fx00，由保号性，存在某领域Uab，使得在此领域内fxfx，或fxfx，此时，由fx可导，推知命题3

fx可导。
当
fx00，且fx在xo
可导时，若fx00，则fx在xo可导；若
fx00
，则fx在xo不可导。
事实上：若fx00，即fx0fx00则
fxfx0xx0fxfx0xx00xx0
故fx在xo可导且导数为0若fx00，即lim
fx00，不妨设fx00

fxfx0xx0
xx0
lim
fxxx0
xx0
0
于是
0
xx0x0，有fx0
xx0x0，有fx0
这样fx在xo的左、右导数分别为：fx0，故fx在xo不可导。命题4当
fx00，若fx
fx0

在xo可导，则
fx在xo
fxxx0
可导。
0lim
xx0
事实上：设fx在xo的导数为，则
fxfx0xx0
xx0
lim
fxxx0
0
，
从而0，即lim
xx0
0也就是说fx在xo
可导。
2分段函数在分段点上的可导性
设hx命题5
fxxx0x0gxxx0x0
fx
有如下命题
若
，gx都在x0x0定义且在xo可导，有fx0gx0
当hx在x0连续时，则hx在xo可导
4
f事实上，即lim
fx，hx
可导在xo，并且fx0gx0，
gxgx0xx00
fxfx0xx0
xx0
lim
xx0
，又hx在xo连续，limhxhx0
xx0
xx0
limhxlimgxgx0
xx0
xx0
limhxlimfxfx0
xx0
下证hx在x0可导，由已知hx0lim
hxhx0xx0fx0
xx0
lim
gxgx0xx0
xx0
gx0
hx0lim
hxhx0xx0
xx0
lim
fxfx0xx0
xx0
由已知fx0gx0从而fx0gx0hx0命题6若
fx在x0x0可导，gx
在x0x0可导，limgx和limfx
xx0

xx

都存在而且相等，当hx在x0连续时，则hx在x0可导。要证明命题6必须先证明下面的定理定理：若
faA
fx
在ab连续，在ab可导，且r