［教材例题拓展］【例1】已知si
θcosθ
13（0θπ），2
求si
θ、cosθ的值分析：若已知si
θ与cosθ的和与差，联系到si
2θcos2θ1，可以求出si
θ、cosθ的值若直接消元，难免山重水复；若求出si
θcosθ，把si
θcosθ与si
θcosθ看成关于x的某一元二次方程的根，构造方程求解，则柳暗花明；若依据（si
θ±cosθ）21±2si
θcosθ，构造si
θ－cosθ的值求解，更是独具匠心解法一：由si
θcosθθcosθcos2θ（
规律总结si
θcosθm是一个对称函数式，利用“1”的变换，如si
2θcos2θ1可以求其他有关的对称函数式的值如将上式两边平方得12si
θcosθ
m21m，si
θcosθ，从2
2
而得到
si
3θ
cos3θ
13，两边平方得si
2θ2si
2
m3m2，ta
θcotθ2
2m1
2
132），23，4

整理得si
θcosθ－
13si
cos2可把si
θ、cosθ视为一元二次即si
cos34
方程x2－
一般地，si
θ±cosθ与si
θcosθ存在如下的关系：（si
θ±cosθ）21±2si
θcosθ；si
θcosθ
1330的两个根x24
13，x2－22
si
cos21；si
θcos21si
cos22
解得x1
θ
∵0θπ，∴si
θ0由si
θcosθ
π130，可知θπ，2213，cosθ－22
即cosθ0，所以si
θ
解法二：（2）接上题si
θcosθ－∵0θπ，∴si
θ0
3，4
f又si
θcosθ－∴si
θ－cosθ0由
30，∴cosθ04
cosθ的符号可依据单位圆去判定，也可依据运算的中间结果去判定1－
si
cos2
2si
cos1
3423132242
得si
cos
132
可分别把si
θ、cosθ看作一个整体，通过解方程组求解
113si
si
cos22即解得cos3si
cos1322
【例2】已知ta
α2，求
221si
α－si
αcosαcos2α的值34
分析：若由ta
α2讨论α所在的象限，再代入求值，将使解题过程显得烦琐、冗长且易出现错误由本式是一齐次整式这一特点，可添加分母si
2αcos2α转化成齐次分式，再把分子、分母同除以齐次项cos2α，则把原式转化成含有ta
α的三角式，从而简化了运算解：∵ta
α2，∴α的终边不落在坐标轴上∴cosα≠0
221si
si
coscos24原式322si
cos21ta
2ta
432ta
1214241134160
【例3】求证：si
2αta
αcos2αcotα2si
αcosαta
αcotα分析：根据等式两r