＝2，BC＝1，P是腰DC
上的动点，则P→A＋3P→B的最小值为__________．
【解析】1法一：因为a＝－1，2，所以2a＝－2，4，因为b＝1，3，所以2a
－b＝－3，1，所以2a－b＝10，故选C
法二：在直角坐标系xOy中作出平面向量a，2a，b，2a－b，如图所示，由图易得2a－b＝10，故选C
2因为A→D＝12A→B＋A→C＝122a＋2b＋2a－6b＝2a－2b，
所以A→D2＝4a－b2＝4a2－2ba＋b2＝4×3－2×2×3×cosπ6＋4＝4，则A→D＝2
3建立平面直角坐标系如图所示，则A2，0，设P0，y，C0，b，则B1，b，则P→A＋3P→B＝2，－y＋31，b－y＝5，3b－4y．
5
f所以P→A＋3P→B
精校Word文档，欢迎下载使用！
＝25＋（3b－4y）20≤y≤b．
当y＝34b时，P→A＋3P→Bmi
＝5
【答案】1C2A35角度二平面向量的夹角
1已知平面向量a，b的夹角为π3，且a＝1，b＝12，则a＋2b与b的夹角是

π
5π
A6
B6
π
3π
C4
D4
2若向量a＝k，3，b＝1，4，c＝2，1，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
【解析】1因为a＋2b2＝a2＋4b2＋4ab＝1＋1＋4×1×12×cosπ3＝3，所以a＋2b
＝3
又a＋2bb＝ab＋2b2＝1×12×cosπ3＋2×14＝14＋12＝34，
3
（a＋2b）b
所以cos〈a＋2b，b〉＝
＝
a＋2bb
34×12＝23，
π所以a＋2b与b的夹角为62因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以2a－3bc0，即2k－3，－62，10，
所以4k－6－60，所以k3
【答案】1A2－∞，3
角度三两向量垂直问题已知向量A→B与A→C的夹角为120°，且A→B＝3，A→C＝2若A→P＝λA→B＋A→C，且A→P⊥
B→C，则实数λ的值为________．【解析】因为A→P⊥B→C，所以A→PB→C＝0
6
f精校Word文档，欢迎下载使用！
又A→P＝λA→B＋A→C，B→C＝A→C－A→B，所以λA→B＋A→CA→C－A→B＝0，即λ－1A→CA→B－λA→B2＋A→C2＝0，所以λ－1A→CA→Bcos120°－9λ＋4＝0
所以λ－1×3×2×－12－9λ＋4＝0解得λ＝172
【答案】
712
1求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cosθ＝aabb，其中两个向量的夹角θ的范围为0，
π，求解时应求出三个量：ab，a，b或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则cosθ＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21x22＋y22
2求向量的模的方法
①公式法：利用a＝aa及a±b2＝a2±2ab＋b2，把向量模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则
作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
1．2019青r