岛模拟已知向量O→A＝3，O→B＝2，O→C＝mO→A＋
O→B，若O→A与O→B的夹角为
60°，且O→C⊥A→B，则实数m
的值为

1
1
A6
B4
C．6
D．4
解析：选A因为向量O→A＝3，O→B＝2，O→C＝mO→A＋
O→B，O→A与O→B夹角为60°，所以O→AO→B
＝3×2×cos60°＝3，所以A→BO→C＝O→B－O→AmO→A＋
O→B
＝m－
O→AO→B－mO→A2＋
O→B2
7
f精校Word文档，欢迎下载使用！
＝3m－
－9m＋4
＝－6m＋
＝0，所以m
＝16，故选A2．2019长春质量检测一已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且a＝b＝1，c＝3，则a＋b＋c＝________．
2π解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为3，所以a＋b
2π
2π
＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1＋1＋9＋2×1×1×cos3＋2×1×3×cos3＋
2π2×1×3×cos3＝4，所以a＋b＋c＝2
答案：23．一题多解2019西安一模已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2B→E＝B→C，设向量A→E，B→D的夹角为θ，则cosθ＝________．解析：法一：因为2B→E＝B→C，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则A→E＝5，
B→D＝22，A→EB→D＝A→B＋21A→DA→D－A→B＝12A→D2－A→B2＋12A→DA→B＝12×22－22＝－2，所
A→EB→D以cosθ＝A→EB→D＝
－25×2
＝－2
1010
法二：因为2B→E＝B→C，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平
面直角坐标系xAy，则点A0，0，B2，0，D0，2，E2，1，所以A→E＝2，1，B→D＝－
2，2，所以A→EB→D＝2×－2＋1×2＝－2，故cos
A→EB→Dθ＝→→＝
AEBD
－25×2
＝－2
1010
答案：－
1010
平面向量与三角函数师生共研已知两个不共线的向量a，b满足a＝1，3，b＝cosθ，si
θ，θ∈R
8
f精校Word文档，欢迎下载使用！
1若2a－b与a－7b垂直，求a＋b的值；2当θ∈0，π2时，若存在两个不同的θ，使得a＋3b＝ma成立，求正数m的取值范围．【解】1由条件知a＝2，b＝1，又2a－b与a－7b垂直，
所以2a－ba－7b＝8－15ab＋7＝0，所以ab＝1
所以a＋b2＝a2＋2ab＋b2＝4＋2＋1＝7，故a＋b＝7
2由a＋3b＝ma，得a＋3b2＝ma2
即a2＋23ab＋3b2＝m2a2，
即4＋23ab＋3＝4m2，7＋23cosθ＋3si
θ＝4m2
所以43si
θ＋π6＝4m2－7
π
ππ2π
由θ∈0，2，得θ＋6∈6，3，
π因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知43si
θ＋6∈6，43，即6≤4m2
－7＜4
3，即143≤m2＜7＋44
3，又m＞0，所以
213≤m＜2＋2
3
即实数m的取值范围为213，2r