常微分方程期末考试试卷
学院______班级_______学号_______姓名_______成绩_______
一．填空题（30分）
1．dyPxyQx称为一阶线性方程，它有积分因子ePxdx，其通
dx解为_________。
2．函数fxy称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果
_______。
3．若x为毕卡逼近序列
x的极限，则有x
x______。
4．方程dyx2y2定义在矩形域R2x22y2上，则经过点
dx（0，0）的解的存在区间是_______。
．函数组tt2t的伏朗斯基行列式为_______。
5
eee
6．若xiti12
为齐线性方程的一个基本解组，xt为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为________。
7．若t是xAtx的基解矩阵，则向量函数t_______是xAtxft的满足初始条件t00的解；向量函数t_____是xAtxft的满足初始条件t0的解。
8．若矩阵A具有
个线性无关的特征向量v1v2v
，它们对应的特征值分别为12
，那么矩阵t______是常系数线性方程组xAx的一个基解矩阵。
9．满足_______的点xy，称为驻定方程组。
二．计算题（60分）
10．求方程4x2y2dx2x3y1dy0的通解。
f11．求方程dy
dy
edx
dx
x0的通解。
12．求初值问题
dyx2y2dx
y10
Rx1
1y1的解的存在区间，并求
第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
13．求方程x9xtsi
3t的通解。
14．试求方程组xAxft的解t
1
12
et
0
A
ft
1
43
1
15．试求线性方程组dx
2x7y
dy
19
dt
dt
的类型及稳定性。
x2y5的奇点，并判断奇点
三．证明题（10分）
16．如果t是xAx满足初始条件t0texpAtt0
的解，那么
f常微分方程期终考试试卷答案
一．填空题（30分）
Pxdx
Pxdx
1．ye
Qxe
dxc
2．fxy在R上连续，存在L0，使fxy1fxy2Ly1y2，对于
任意xy1xy2R
3．ML
h
1
1
4．1x1
4
4
etet
e2t
5．etet2e2t
etet
4e2t


6．xt
cixitxt
i1
t
7．
t1sfsds
t0
8．e1tv1e2tv2

e
t

v

9．Xxy0Yxy0
t1t0
t
t1sfsdst0
二．计算题（60分）
10．解：M
y
8x2yN
x
6x2y
MN
yxM
1dy
1
1积分因子ye2y
y2
2y
2
1
两边同乘以y后方程变为恰当方程：4x2y3dx2y2x3y1dy0
uM
2
4x2y3
两边积分得：u
4x3y23
y
x
3
f1
u2x3y2
y
1
1
yN2x3y22y2
1
得：y4y2
1
因此方程的通解为：y2x3y3c
11．解：令dyyp则pepx0
dx得：xpep
那么ypdxp1epdp
p2pepepc2
因此方程的通解r