为M，连接AM，如图所示．
由2知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD因此∠AME是二面角APDC的平面角．由已知，可得∠CAD＝30°设AC＝a，可得23212PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a332在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AMPD＝PAAD，PAAD则AM＝＝PD23aa327＝a721a3
AE14在Rt△AEM中，si
∠AME＝＝AM4所以二面角APDC的正弦值为探究提高144
1求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．2作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为A23B332C3D63
答案D
f解析如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝26，D1O＝，22
DD126∴cos∠DD1O＝＝＝D1O36∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为63
解答过程要规范
典例：12分如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：1AN∥平面A1MK；2平面A1B1C⊥平面A1MK审题视角1要证线面平行，需证线线平行．2要证面面垂直，
需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规范解答证明1如图所示，连接NK
在正方体ABCDA1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD2分∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．3分∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K4分∵A1K平面A1MK，AN平面A1MK，∴AN∥平面A1MK6分2如图所示，连接BC1在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC18分
f在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C10分∴MK⊥B1C∵A1B1平面A1B1C，1C平面A1B1C，1B1∩B1C＝B1，BA∴MK⊥平面A1B1C又∵MK平面A1MK，∴平面A1MK⊥平面A1B1C12分温馨提醒流畅性．2本题证明常犯错误：①定理应用不严谨．如：要证AN∥平面A1MK，必须强调AN平面A1Mr