积．思维启迪：1因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD2四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离．1证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2∴AD⊥BD又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD面ABCD，∴BD⊥面PAD又BD面BDM，∴面MBD⊥面PAD2解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．4×885在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，545此即为梯形的高．∴S四边形ABCD＝25＋4585×＝2425
1∴VPABCD＝×24×23＝1633探究提高当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直．
f如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，1求证：EF∥平面ABCD；2设M为线段C1C的中点，当D1MB？并说明理由．1证明∵E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，∴EF∥AB∵EF平面ABCD，AB平面ABCD，∴EF∥平面ABCD2解D1D当＝2时，DF⊥平面D1MBADD1D的比值为多少时，DF⊥平面AD
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵D1D⊥平面ABC，∴D1D⊥AC∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥DF∵F，M分别是BD1，CC1的中点，∴FM∥AC∴DF⊥FM∵D1D＝2AD，∴D1D＝BD∴矩形D1DBB1为正方形．∵F为BD1的中点，∴DF⊥BD1∵FM∩BD1＝F，∴DF⊥平面D1MB题型四线面角、二面角的求法例4如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．1求PB和平面PAD所成的角的大小；2证明AE⊥平面PCD；3求二面角APDC的正弦值．思维启迪：1先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；2可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．1解在四棱锥PABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，故PA⊥AB又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°2证明在四棱锥PABCD中，
f因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC又AE平面PAC，∴AE⊥CD由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA∵E是PC的中点，∴AE⊥PC又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD3解过点E作EM⊥PD，垂足r