a21
a
1
a12a22
a
2


a1

x1
y1
a2
a


，
X

x2x


，Y


y2
y




由克莱姆法则知若A0则1有唯一解。
如果存在
阶方阵C使得CAE则1的解可用矩阵乘积表出：
XCB（2）
称为矩阵方程2的解。
定义设A为
阶方阵若存在一个
阶方阵B，使得
ABBAE则称方阵A可逆并称方阵B为A的逆矩阵记作A1B，若CAACE则CA1
性质1若A1存在则A1必唯一证明设B、C都是A的逆阵，则有
BBEBACBACECC（唯一）
51
f性质2若A可逆，则A1也可逆，且A11A证明A可逆AA1A1AE从而A1也可逆且A11A。
性质3若A可逆则A可逆且A1A1
证明A1AAA1EA1AAA1E
从而AA1A1AE，于是A1A1
性质4若同阶方阵A、B都可逆，则AB也可逆，且AB1B1A1
证明ABB1A1ABB1A1AEA1AA1EB1A1ABB1A1ABB1EBB1BE
所以AB可逆且AB1B1A1
二、逆阵存在的条件及逆阵的求法
定义3
由A
aij
的行列式


a11a12a1

A

a21
a22
a2

a
1a
2a

中元素aij的代数余子式Aijij12
构成的
阶方阵记作A即
A11
A

A12
A21A22

A
1A
2

A1
A2
A

称为A的伴随矩阵
321
例1设
A1
2
2

求A
343
解
因为A112，A123，A132
A212，A226，A236
A312，A325，A334
52
f所以
222


A365
264
定理
方阵A
aij
可逆


A
0
且
A1AA
证明
必要性：A可逆即有A1存在使得AA1E，两边取行列式得AA1E10
故
A0
充分性：由行列式的性质7和Laplace定理知



Aij
aikAjk
k1

akiAkj
k1
0
ij
于是
A00


AA

AA

0
A

0



AE
00A
因为A0，故有AAAAEAA
从而
A1AA
推论设A为
阶方阵若存在
阶方阵B使得ABE，或
BAE，则BA1。
证明：ABABE1，A0，故A1存在。
于是BEBA1ABA1ABA1EA1
注：求A1时，只需要验算ABE，计算量减半。
53
f321132例2判断下列方阵A122B11151是否可逆若
343331
可逆，求其逆阵。解：A20，B0，所以B不可逆，A可逆，并且
222
A1

AA


12

32
66
54
三、用逆矩阵法解线性方程组
在第一节中，线性方程组1可表示为矩阵方程AXB2，若A0，则XA1B3，得到1的解。
例3．解线性方程组
3x12x2x31

x1

2x2

2x3

2
3x14x23x33
解：其矩阵式为
321x11122x22343x33
321
因1222
343
x13
所以x21
x33
224
111
2
1
23

23



2

32
266
210520431
所以r