的余弦值为
fE为棱AB的中点．20．如图2，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点
求：（1）D1E与BC1所成角的正弦值；（2）三棱锥D1DBC1的体积解：1取D1C1的中点F，连接FB，则FBD1E∴FBC1就是D1E与BC1所成角在FBC1中FBD1E3BC122FC11
cosFBC1
9812322

122si
FBC133
所以D1E与BC1所成角的正弦值为2VD1DBC1VBD1DC1
13
4分8分
114222323
21如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．1）当点E为AB中点时，求二面角D1－EC－D的正切值2探究当AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为解：（1）连接DE，∵E是AB的中点，
π．4
AD＝AA1＝1，AB＝2，∴DEEC2，DC2
DE2EC2DC2，DEEC，又在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
DD1面ABCD，∴D1EEC，∴D1EC是二面角D1－EC－D的平面角
ta
D1EC
D1D212所以二面角D1－EC－D的正切值为2DE22
4分
2在底面ABCD内作DH⊥EC连接D1H则D1HD就是二面角D1－EC－D的平面角
D1HD

4
∴DH1∵DC2DCE

6
BCE

3
BE3AE23
∴当AE23时，二面角D1－EC－D的大小为
π．4
8分
22．如图6，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O，D是AC，PC的中点，OP底面ABC．（1）求证：OD∥平面PAB；
分别
f（2）当k1时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值解：1∵点O，D分别是AC，PC的中点，∴ODPA∵OD面PAB而PA面PAB∴OD∥平面PAB2作AH⊥面PBC于H连接PH则∠APH就是直线PA与平面PBC所成角∵k1可设ABBCPA14分
VAPBCVPABC
∵AB⊥BCAC
∴
11SPBCAHSABCPO33
2OBOP
2∴PB12
131126∴AHAH11343223si
APH66∴PA与平面PBC所成的角的正弦值为33
10分
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