高三第一轮复习学案
高三数学理科备课组
第3课一元二次不等式及其解法（2）
编者：彭小平审订：高三理科数学组
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考纲导读会从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型，通过函数图象了解一元二次不
等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不
等式，会设计求解的程序框图．
【典例分析】
例12013高考重庆卷设0≤α≤π不等式8x2－8si
αx＋cos2α≥0
对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．
【审题视点】根据开口向上的二次函数定义域为R时函数值非负的
条件Δ≤0列式直接运算求解．
由题意，要使8x2－8si
αx＋cos2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝
64si
2α－32cos
2α≤0，化简得
cos
2α≥12又
π0≤α≤π，∴0≤2α≤3或
53π≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或56π≤α≤π
【答案】0，π6∪56π，π
【类题通法】1解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参
数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参
数．
2对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．3一元二次不等式恒成立的条件①ax2＋bx＋c＞0a≠0恒成立的充要条件是：
习惯成就未来
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细节决定成败
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a＞0且b2－4ac＜0x∈R．
②ax2＋bx＋c＜0a≠0恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0x∈
R．【变式训练1】在R上定义运算：xy＝x1－y．若不等式x
－ax＋a＜1对任意实数x成立，则A．－1＜a＜1B．0＜a＜2
C．－12＜a＜32D．－32＜a＜12
解析：选Cx－ax＋a＜1对任意实数x成立，即x－a1－x－a＜1对任意实数x成立．
∴x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，∴Δ＝1－4－a2＋a＋1＜0，
∴－12＜a＜32
例2已知不等式ax2＋bx＋c0的解集为α，β，且0αβ，求不等式cx2＋bx＋a0的解集．
解由已知不等式的解集为α，β可得a0，∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴由根与系数的关系可得
ba＝－
α＋β
0，
①
ca＝αβ0②
∵a0，∴由②得c0，
则cx2＋bx＋a0可化为x2＋bcx＋ac0
①÷②，得bc＝－α1β10，
α＋βαβ
＝－α1＋β10，由②得ac＝α1β＝
习惯成就未来
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∴α1、β1为方程x2＋cbx＋ac＝0的两根．
∵0αβ，∴不等式cx2＋bx＋a0的解集为xxβ1或xα1．
【突破思维障碍】由ax2＋bx＋c0的解r