从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PDBC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQAB时，四边形PDBQ为菱形．
请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M
f的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成107，可以体验到，当PQAB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1
思路点拨
1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQAB．先求出点P运动的时间t，再根据PQAB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．
2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．
满分解答
（1）QB＝8－2t，PD＝4t．3
（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQAB交
BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝
10．
图3
在Rt△APE中，cosAAE23，所以t10．
APt5
3
当
PQAB
时，
CQ

CP
，即
CQ

6
103
．解得CQ

32
．
CBCA
86
9
所以点Q的运动速度为321016．9315
（3）以C为原点建立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E3，0．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F1，4．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．
如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（6t，t）．经验证，点M（6t，t）在直
2
2
线EF上．
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．
图4
图5
图6
f考点伸展
第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为2，2．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E3，0、F1，4和2，2，
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