微分方程的通解。所以非齐次方程特解可以选
σxfxxσyfyyτxy0
（特解还可以选其它形式）
下面工作求齐次微分方程βαβ或者
σ
0的通解，
τxyxσyy0
的通解
σxτyx0，xy
同时通解还需要满足相容方程：
2σxσy0
对于上面三个齐次微分方程要求出其通解，仍是一个较复杂、困难的问题。1862年Airy提出将满足三个齐次微分方程的3个应力分量的齐次解由一个函数Φ（应力函数）的二阶微分来表示，使之自然满足齐次平衡微分方程
σβαβ0
这样应力法的齐次基本方程仅为用应力函数Φ表示的相
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f容方程，使未知函数和基本方程数均减为一个。容方程，使未知函数和基本方程数均减为一个。Airy提出应力函数Φxy与齐次微分方程中待求应力分量之间满
足如下微分关系：
2Φ2Φ2Φσxστy2，yx2，xyxy
（a）
应力函数Φxy与待求应力分量齐次解之间的微分关系是由两个齐次平衡微分方程导出的：
τxyAσxAτxyσx，xyyx
σyyτxyx
BBτxyσy，yx
，B

得
ABΦAxyy
Φx
从而导出a式。则a式使得齐次的平衡微分方程自然满足，将a式代入相容方程，得
2Φ2Φ2222Φ4Φ0yx
2
应力函数解法的基本方程（一个）基本方程为由应力函数Φ满足的双调合方程。最后应力分量解为其特解加通解：
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fΦ2ΦΦσx2fxx，σy2fyy，τxyxyyx
在边界上应力分量满足力的边界条件（在Sσ上），用应力函数表示：
2Φ2Φ2Φ2ΦXl2fxxm，Ylm2fyyyxyxyx
对于单连域，应力函数Φxy满足双调和方程
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Φ0，且在Sσ上满
足用应力函数二阶偏微分表示的边界条件，则由Φxy导出应力分量为真解，对于复连域，还要考虑位移的单值条件。34应力函数的特性1应力函数加上一个线性函数abxcy，并不影响应力，换句话说，某问题的应力函数为Φ，则
Φ1Φabxcy也是问题的应力函
数。应力函数可确定到只差一个线性函数。2无体力作用时，应力函数及其一阶偏导数的边界值可分别由边界的面力的主矩和主矢量来确定

BΦΦBA∫YdSRyAxx

BΦΦBA∫XdSRxAyy
ΦBΦA∫xxBYdS∫yyBXdSMB
AA
B
B
对B点取
矩逆时针为正。yy
F
BoAxo

e2e1
dydxxds
r