衡微分方程（两个平面问题一致：βαβfα0
σ
αβ12
σyyY0
σxτyxX0，xy
22
τxyx
几何方程（几何方程（3个）
两平面问题一致：
εαβuαβuβα
12
uεxx
23

εy
vy，
γxy
uvyx
相容方程（相容方程（1个）
222εxεyγxy22两平面问题一致：yxxy
3
f对于平面应力问题还应有
2εz2εz2εz0，20，0，yxyx2
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。
24
本构方程（本构方程（3个）平面应力问题
εx
121ν1σxνσy，εyσyνσx，γxyτxyEEE
1ν2ν1ν2νσyσx，σxσy，εy1ν1νEE
平面应变问题
εx
γxy
21ντxyE
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同，将平面应力物理方程中弹性系数E→
νE，ν→，则平面应力问题的物理方程变为平面1ν1ν2
应变问题的物理方程。所以按平面应力问题求解的结果中弹性系数也如此替换，则可得到平面应变问题解。
25
边界条件位移边界条件：
uαuα
α12）
在Su上
uu，vv
力的边界条件：Xα

βσαβ
在Sσ上
Xlσxmτyx，Ylτxymσy
第3节
平面问题的基本解法
4
f31位移法基本未知函数：uxy基本方程两个：用u
vxyv
表示的平衡微分方程。
平面应力问题：
2
G2uαG
222x2y
1νuββαfα01ν
其中
平面应变问题：
G2uαG
1uββαfα012ν
在Su上在Sσ上
边界条件：位移边界力的边界
uu，vv
Xlσxmτyx，Ylτxymσy
（应力需要用位移微分表示）32应力法基本未知函数（3个）x：
σσyτxyτyx基本方程（3个）个平衡微分方程：2σβαβfα0
1个相容方程：平面应力问题时
平面应变问题时力边界条件：
fxfyxy1fxfy2σxσy1νxy2σxσy1ν
Xlσxmτyx，Ylτxymσy
Xα
βσαβ
在SσS上
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题的相容方程一致
5
f2σxσy0
σxσy为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力（应变）
问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。33应力函数解法当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为
σβαβfα0
2σββ0
应力法基本方程的前两个为非齐次方程，所以根据微分方程理论，非齐次微分方程的通解等于其特解加上齐次r