柯西不等式的证明
二维形式的证明
a2b2c2d2（abcd∈Ra2c2b2d2a2d2b2c2a2c22abcdb2d2a2d2－2abcdb2c2acbd2ad－bc2≥acbd2，等号在且仅在ad－bc0即adbc时成立。
三角形式的证明
√a2b2√c2d2≥√ac2bd2证明：√a2b2√c2d22a2b2c2d22√a2b2√c2d2≥a2b2c2d22acbd注：表示绝对值。表示乘≥a2b2c2d22（acbd）a22acc2b22bdd2ac2bd2两边开根号即得√a2b2√c2d2≥√ac2bd2
一般形式的证明
求证：∑ai2∑bi2≥∑aibi2证明：当a1a2…a
0或b1b2…b
0时，一般形式显然成立令A∑ai2B∑aibiC∑bi2当a1，a2，…，a
中至少有一个不为零时，可知A0构造二次函数fxAx22BxC，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得：fx∑ai2x22aibixbi2∑aixbi2≥0故fx的判别式△4B2－4AC≤0，（请大家注意：一元二次方程ax2bxc0的判别式确实是△b24ac，但是这里的方程Ax22BxC0已经发生如下替换aA，b2B，cC，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了！）移项得AC≥B2，欲证不等式已得证。
向量形式的证明
f令ma1a2…a
，
b1b2…b

m
a1b1a2b2…a
b
m
cosm

√a12a22…a
2
×√b12b22…b
2×cosm
∵cosm
≤1∴a1b1a2b2…a
b
≤√a12a22…a
2×√b12b22…b
2注：“√”表示平方根。注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。
【柯西不等式的应用】柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是
经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数证不等式
例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2ab2bc2ca9abc∵a、b、c均为正数∴为证结论正确，只需证：2abc1ab1bc1ca9而2abcabaccb又91112∴只需证：
2abc1ab1bc1caabacbc1ab1bc1ca≥11
129又a、b、c互不相等，故等号成立条件无法满足∴原不等式成立求某些函数最值例：求函数y3√x－54√9－x的最大值。注：“√”表示平方根函数的定义域为59，y0y3√x－54√9－x≤√3242×√√x－52√9－x25×210函数仅在4√x－53√9－x，即x644时取到。以上只是柯西不等式的部分示例。
更多示例请参考有关文献。三角形式证明两边同时平方展开消去同样的项剩余部分再平方消去同样的项得一完全平方式大于或等于0得证
代数形式设a1，a2，r