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柯西不等式的证明及其应用
作者：余胜利来源：《中学理科园地》2011年第02期
柯西不等式是高中教材45《不等式选讲》中的一个重要不等式。它是证明不等式，求解极（最）值问题的一个重要工具。由于此不等式在以前教材（大纲教材）未曾出现，仅在高中数学竞赛中要求。因此，对此不等式的理解及其应用，大多数教师都感到较陌生，教学要点把握不准。本文主要从柯西不等式的证明、变式与应用这三个方面做些探讨，供教师们教学参考。祈请同行斧正。
一、柯西不等式的证明柯西不等式：aibi2≤ai2bi2ai，bi∈R，i1，2…
，等号成立当且仅当ai0（i1，2…
或bikai（i1，2…
，其中k为常数）时成立教材中柯西不等式的证明采用构造二次函数证明以下再给出几种证明，以便对此不等式实质有更深刻的认识。证法一：配方法ai2bi2ai2bi2（ai2bj2aj2bi2）ai2bi22（aiajbibj）（ai2bj2aj2bi22aiajbibj）aibi2（aibjajbi）2
≥aibi2其中等号当且仅当…时成立（当bi0时，认为ai01≤i≤
）证法二：数学归纳法（1）当
1时，左式（a1b1）2，右式（a1b1）2，显然，左式右式。当
2时，右式（a12a22）（b12b22）（a1b1）2（a2b2）2a22b12a12b22≥（a1b1）2（a2b2）22a1a2b1b22（a1b1a2b2）2左式当且仅当即a2b1a1b2即时等号成立。故
12时，不等式成立。
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（2）假设
k（k∈Nk≥2）时，不等式成立，即（a1b1a2b2…akbk）2≤（a12a22…akk）（b12b22…bkk）
且bikai，k为常数，i1，2…
或a1a2…ak0时等号成立设Aa12a22…ak2，Bb12b22…bk2，Ca1b1a2b2…akbk则（Aa2k1）（Bb2k1）ABAb2k1Ba2k1a2k1b2k1≥AB2ak1bk1a2k1b2k1≥C2a2k1b2k12Cak1bk1Cak1bk12（a1b1a2b2…akbkak1bk1）2即（a12a22…ak2a2k1）（b12b22…bk2b2k1）≥（a1b1a2b2…akbkak1bk1）2并且bikaik为常数，i1，2，…
或a1a2…ak0时等号成立。所以
k1时不等式成立，综合（1）（2）可知柯西不等式成立。证法三：记AB，则≤≤1∴≥aibi即ai2bi2≥aibi2证法四：记A
B
A2
1B2
1A
2a2
1B
2b2
1A
2B
2A
2b2
1B
2a2
1a2
1b2
1≥A
2B
22A
B
a
1b
1a2
1b2
1A
B
a
1b
12∴A
1B
1≥A
B
a
1b
1≥0∴A
1B
1A
B
≥a
1b
1
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从而A
B
（A
B
A
1B
1）（A
1B
1A
2B
2）…（A2B2A1B1）A1B1
≥a
b
a
1b
1…a2b2a1b1∴A
2B
2≥（a
b
）2
即ai2bi2≥（a
b
）2≥aibi2
评注：教材给出的构造二次函数证柯西不等式的证法技巧性非常高，对学生而言：如何想到要构造一个二次函数思路并不自然。我r