习题32
1用洛必达法则求下列极限1liml
1x
x0x2limexex
x0si
x3limsi
xsi
a
xaxa4limsi
3x
xta
5x
5liml
si
xx2x2
2
6limxmamxax
a
7liml
ta
7xx0l
ta
2x
8limta
xxta
3x
2
1
l
1
9lim
x
xarccotx
10liml
1x2x0secxcosx
11limxcot2x
x0
1
12limx2ex2x0
13limx1
2x21

1x1
14lim1axxx
15limxsi
xx0
16lim1ta
x

x0x
f1
解1liml
1xlim1xlim11
x0x
x01
x01x
2limexexlimexex2x0si
xx0cosx
3limsi
xsi
alimcosxcosa
xaxa
xa1
4limsi
3xlim3cos3x3xta
5xx5sec25x5
5liml
si
xlim
cotx
1limcsc2x1
x2x2x22x24x2
8
2
2
2
6limxmamlimmxm1mxm1mam
xax
a
xa
x
1
a
1

7lim
l
ta
7x
lim
1ta
7x
sec2
7x7

7
lim
ta
2x7
lim
sec22x21
x0l
ta
2xx01sec22x22x0ta
7x2x0sec27x7
ta
2x
8limta
xlimsec2x1limcos23x1lim2cos3xsi
3x3
xta
3xxsec23x33xcos2x3x2cosxsi
x
2
2
2
2
limcos3xlim3si
3x3
xcosx
xsi
x
2
2
11
l
11
11
9lim
xlimx
x2lim1x2lim2xlim21
xarccotxx
1
xxx2x12xx2
1x2
10liml
1x2limcosxl
1x2limx2注
x0secxcosxx01cos2x
x01cos2x
lim
2x
limx1
x02cosxsi
xx0si
x
cosxl
1x2x2
11limxcot2xlimxlim11
x0
x0ta
2xx0sec22x22
12
1
1
limx2ex2
ex2lim

lim
et

lim
et

x0
x01ttt1
x2
注
当x0时
ft1x2
13
limx1
2x21

x
11

lim
x1
1xx21

lim
x1
12x


12
14因为
lim1
ax

lim
xl
1a
ex
x
x
x
1a
而
lim
xl
1
a

lim
l
1
ax

lim
1
ax
x2limaxlimaa
x
xx1
x
1
xxax1
x
x2
所以
lim1
ax

lim
xl
1a
e
x

ea
x
x
x
15因为limxsi
xlimesi
xl
x

x0
x0
1
而
limsi
xl
xliml
xlim
x
limsi
2x0
x0
x0cscxx0cscxcotxx0xcosx
所以
limxsi
xlimesi
xl
xe01
x0
x0
16因为lim1ta
xeta
xl
x

x0x
1
而
limta
xl
xliml
xlimxlimsi
2x0
x0
x0cotxx0csc2x
x0x
所以
lim1ta
xlimeta
xl
xe01
xx0
x0
2验证极限limxsi
x存在但不能用洛必达法则得出xx
解limxsi
xlim1si
x1
xx
x
x
极限limxsi
x是存在的xx
但limxsi
xlim1cosxlim1cosx不存在
xx
x1
x
不能用洛必达法则
fx2si
1
3验证极限lim
x存在
x0si
x
但不能用洛必达法则得出
x2si
1
解lim
xlim
x
xsi
1100
x0si
xx0si
x
x
x2si
1
极限lim
x是存在的
x0si
x
x2si
1
2xsi
1cos1
但lim
xlim
x
x不存在
x0si
xx0
cosx
不能用洛必达法则
4
r