2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
x41．设集合Ax0，xZ，从集合A中随机抽取一个元素x，记x3
x2，则随机变量的数学期望E
【答案】5
。
【解答】A4，3，2，1，，，012，随机变量的取值为0，1，4，9，16。易得，的概率分布列为

P
0
17
1
279
4
27
9
17
16
17
∴
122E014777
1116。577
2．已知fxxgx，其中gx是定义在R上，最小正周期为2的函数。若fx在区间2，4上的最大值为1，则fx在区间10，12上的最大值为【答案】9。【解答】依题意，有fx2x2gx2xgx2fx2。∵∴
fx在区间2，4上的最大值为1，fx在区间4，6上的最大值为3，在区间6，8上的最大值为5，在区
间8，10上的最大值为7，在区间10，12上的最大值为9。3．F1、F2为椭圆C：
x2y21（ab0）的左、右焦点，若椭圆C上存a2b2
在一点P，使得PF1PF2，则椭圆离心率e的取值范围为
。
f2，1【答案】2
【解答】设A为椭圆C的上顶点，依题意有F1AF290。∴
cc212e1。F2AO45，1。c2a2c2，2，ba22
4．已知实数x，y，z满足x22y23z224，则x2y3z的最小值为。【答案】12【解答】由柯西不等式，知
222222x2y3z21x22y33z2123x2y3z144
。∴∴
x2y3z1，2当且仅当
x2y3y，即xyz123
2时等号成立。
x2y3z的最小值为12。
5．已知函数fxx2cos
x
2
，数列a
中，a
f
f
1（
N），。依题意，有
则数列a
的前100项之和S100【答案】10200【解答
100
】
T100f
22426282L9821002437L99
1
4
399255100。2
∴
S1002T100f1f1012510000。10200
6．如图，在四面体ABCD中，DADBDC2，DADB，DADC，且
DA与平面ABCr