是边BC上一动点〔不与B、C重合〕。连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F。〔1〕求证：△ABE∽△ECF；〔2〕连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE＝∠EAF，请证明你的结论。
【答案】解：〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°。∴∠BAE＋∠BEA＝90°。∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°。
f∴∠BEA＋∠FEC＝90°。∴∠BAE＝∠FEC。∴△ABE∽△ECF。〔2〕E是中点时，∠BAE＝∠EAF。证明如下：连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，∵E为BC中点，∴BE＝CE。∵AB∥DH，∴∠B＝∠ECH。∵∠AEB＝∠CEH，∴△ABE≌△HCE〔AAS〕。∴AE＝EH。∵EF⊥AH，∴△AFH是等腰三角形。∴∠EAF＝∠H。∵AB∥DH，∴∠H＝∠BAE。∴∠BAE＝∠EAF。∴当点E在BC中点位置时，∠BAE＝∠EAF。21、在不透明的箱子里放有4个乒乓球。每个乒乓球上分别写有数字1、2、3、4，从箱子中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字。假设将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为点的纵坐标。〔1〕请用列表法或树状图法写出两次摸球后所有可能的结果；〔2〕求这样的点落在如下图的圆中的概率〔注：图中圆心在直角坐标系中的第一象限内，并且分别与X轴、Y轴切于点〔2，0和〔0，2〕〕两点〕。
【答案】解：〔1〕列表得：第一次第二次11〔1，1〕〔1，2〕〔1，3〕〔1，4〕2〔2，1〕〔2，2〕〔2，3〕〔2，4〕4〕3〕〔3，4〕2〕〔3，3〕〔4，1〕〔3，2〕〔4，3〔3，1〕〔4，4〔4，
2
3
4
∴共有16种等可能的结果。〔2〕∵这样的点落在如下图的圆内的有：〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔2，1〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔3，1〕，〔3，2〕，〔3，3〕9点〔如图〕，
9∴这样的点落在如下图的圆内的概率为：16。
22、如图P为⊙O外一点。PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA＝
fPB，C为优弧AB上任意一点〔不与A、B重合〕，连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC。〔1〕求证：PB为⊙O的切线；
〔2〕假设
ta
BCA
23，⊙O的半径为13，求弦AB的长。
【答案】解：〔1〕证明：如图，连接OA，OB，∵AP为圆O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP＝90°。在△OAP和△OBP中，∵AP＝BP（），OA＝OB（半径相等），OP＝OP（公共边），∴△OAP≌△OBP〔SSS〕。∴∠OAP＝∠OBP＝90°。∴OB⊥BP，即BP为圆O的切线。〔2〕延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，∵BE为圆O的直径，∴∠BAE＝90°。∵∠AEB和∠ACB都对AB，∴∠AEB＝∠ACB。
∴
ta
AEBta
BCA
23。
设r