函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：
一、同一函数的周期性、对称性问题即函数自身
1、周期性：对于函数yfx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx都成立，那么就把函数yfx叫做周期函数，不为零的常数
T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义（略），请用图形来理解。3、对称性：
我们知道：偶函数关于y（即x0）轴对称，偶函数有关系式fxfx奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式fxfx0
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的
探讨：（1）函数yfx关于xa对称faxfax
faxfax也可以写成fxf2ax或fxf2ax
简证：设点x1y1在yfx上，通过fxf2ax可知，
y1fx1f2ax1，即点2ax1y1也在yfx上，而点x1y1与点
2ax1y1关于xa对称。得证。
若写成：faxfbx，函数yfx关于直线xaxbxab
2
2
对称
（2）函数yfx关于点ab对称faxfax2b
上述关系也可以写成f2axfx2b或f2axfx2b简证：设点x1y1在yfx上，即y1fx1，通过f2axfx2b可知，
f2ax1fx12b，所以f2ax12bfx12by1，所以点2ax12by1也在yfx上，而点2ax12by1与x1y1关于ab对
称。得证。
若写成：faxfbxc，函数yfx关于点abc对称22
（3）函数yfx关于点yb对称假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线cxy0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆cxyx2y240它会关于y0对称。
4、周期性：
（1）函数yfx满足如下关系系，则fx的周期为2T
fA、fxTfxB、fxT1或fxT1
fx
fx
C、fxT1fx或fxT1fx（等式右边加负号亦成立）
21fx
21fx
D、其他情形
（2）函数yfx满足faxfax且fbxfbx，则可推出
fxf2axfb2axbfb2axbfx2ba即
可以得到yfx的周期为2ba，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于
x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足fxTfx则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为
xT2kTkz，根据fxr