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第二章
第5炼函数的对称性与周期性
函数及其性质
第5炼函数的对称性与周期性
一、基础知识(一)函数的对称性1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述:
(1)faxfaxfx关于xa轴对称(当a0时,恰好就是偶函数)(2)faxfbxfx关于xab轴对称
2
在已知对称轴的情况下,构造形如faxfbx的等式只需注意两点,一是等
式两侧f前面的符号相同,且括号内x前面的符号相反;二是ab的取值保证xab为2
所给对称轴即可。例如:fx关于x1轴对称fxf2x,或得到f3xf1x均可,只是在求函数值方面,一侧是fx更为方便(3)fxa是偶函数,则fxafxa,进而可得到:fx关于xa轴对
称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在fxa中,x仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的x取相反数时,函数值相等,即fxafxa,要
与以下的命题区分:
若fx是偶函数,则fxafxa:fx是偶函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有fxafxa②本结论也可通过图像变换来理解,fxa是偶函数,则fxa关于x0轴对称,而fx可视为fxa平移了a个单位(方向由a的符号决定),所以fx关于xa
对称。
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f第二章
第5炼函数的对称性与周期性
函数及其性质
在已知对称中心的情况下,构造形如faxfbx的等式同样需注意两点,一
是等式两侧f和x前面的符号均相反;二是ab的取值保证xab为所给对称中心即2
可。例如:fx关于10中心对称fxf2x,或得到f3xf5x均可,同样在求函数值方面,一侧是fx更为方便(3)fxa是奇函数,则fxafxa,进而可得到:fx关于a0中
心对称。
①要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,所以在fxa中,x仅是括号中的一部分,奇函数只是指其中的x取相反数时,函数值相反,即fxafxa,要
与以下的命题区分:
若fx是奇函数,则fxafxa:fx是奇函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相反,所以有fxafxa②本结论也可通过图像变换来理解,fxa是奇函数,则fxa关于00中心对称,而fx可视为fxa平移了a个单位(方向由a的符号决定),所以fx关于a0对称。
4、对称性的作用r
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