x而x表示不超过x的最大整数求这种三角形周长的最小值
3l3l3m3m3
3
4444441010101010于是解由题设可知10解
…………………………10
分m
4由于32351∴由①可知3≡3≡1mod2u4v4现在设u是满足3≡1mod2的最小正整数则对于任意满足3≡1mod2
l

的正整数v我们有uv即u整除v事实上若u不整除v则由带余除法可知存在非负整数a及b使得vaub其中0b≤u1从而可以推出
3b≡3bau≡3v≡1mod24而这显然与u的定义矛盾所以uv
u4243444注意到3≡3mod23≡9mod23≡27≡11mod23≡1mod2，从而可m
4kk以设其中为正整数……………………………………………………………20分
同理可由推出3
m

≡1mod54故34k≡1mod54所以
4k4现在我们求满足3≡1mod5的正整数k3415×24因为4k4k4

3115×21≡0mod5………………………30分
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kk128kk1k2312×5×2×5×226即kk1k2311≡5k52k3k1×27×5×2≡0mod543kk1k2211k5k3k1×27×5×2≡0mod533或5k×24
72即有k5t并代入该式得t5t3k1×2≡0mod52即有t≡0mod5
3即k5t5s其中s为正整数故m
500ss为正整数同理可以证得l
500rr为正整数………………………………………………40分由于lm
所以有rs这样一来三角形的三个边为500r
500s
和
由于两边之差小于第三边故
500rs因此当s1r2
501时三角形的周长最小其值为
10005015005015013003……………………………………………50分（本题满分三、本题满分50分）由
个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间四边形，（12l≥qq11q≥2q∈N22其中
qq1已知此图中任四点不共面，每点至少q2条连线段证明：图中必存在一个空间四边形有一条连线段，存在一点至少有（即由四点ABCD和四条连线段ABBCCDDA组成的图形）证明设这
个点的集合VA0A1A2LA
1为全集记Ai的所有邻点与Ai证明证明有连线段的点的集合为BiBi中点的个数记为Bibi显然
∑b2lb≤
1i012L
1
i0ii

1
存在时
111l
11≤q1
11qq121222
若
bi
1

只
r