CD上取一点Q，使∠DAQ∠PBC。求证：∠DBQ∠PAC
2、设三角形的三边长分别是整数lm
且lm
已知
3t3m3
44，其中4101010
xxx，求这种三角形周长的最小值。
3、由
个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中
q2q1，
l≥
1qq121q≥2q∈N，已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一2
点至少有q2条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形（即由ABCD和AB、BC、CD、DA组成的图形）。
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2003年全国高中数学联赛试题参考答案一试
一一选择题1．C2B3A二填空题7310．93三解答题4C5D6B94＃a1
5151　322411．82
84
112．18
x
13．14略
a
2
2
2
15．所求点的集合为椭圆
y2
22
2
R
R
2
a
1外（含边界）部分
2
2003年全国高中数学联赛加试试题加试试题及参考答案与评分标准
说明：
1．1．评阅试卷时，请严格按照本平分标准规定的平分档次给分2．2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本平分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次
（本题满分一、本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为AB所（作割线交圆于CD两点，在PD之间在弦CD上取一点Q使∠DAQ∠PBC求C证：∠DBQ∠PAC证明证明如图，联结AB，在△ADQ和△ABC中，∠ADQ∠ABC，∠DAQ∠证明BCDQPBC∠CAB，故△ADQ∽△ABC，而有ABAD，即BCADABDQ……（10分）
PCAC又由切割线定理知△PCA∽△PAD，故PAAD；同理由△PCB∽△PBD得PCBCPBBD……………………………………（20分）
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又因PAPB，故，得ACBDBCADABDQ………………………………………………………（30分）又由关于圆内接四边形的托勒密定理知ACBDBCADABCD于是得1DQCDABCD2ABDQ，故2即CQDQ…………………………（40分）ADDQCQ∠BCQ∠BAD在△CBQ与△ABD中，ABBCBC，于是△CBQ∽△∠CBQ∠ABDABD，故，即得
∠DBQ∠ABC∠PAC…………………………………50分
ACBCADBD
二、本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数lm
且lm
已知（
3l3m3
444101010其中xxr