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椭圆、双曲线的对偶性质结论
1．（1）椭圆中，PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
证明：延长F2H至M，交PF1于M∵PT平分∠MPF2，又F2H⊥PT，∴PMPF2又PF1PF22a，∴PMPF12aF1M2OHOHa
∴H轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点（2）双曲线中，PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点
的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点证明：延长F1H到M，交PF2于M，则PMPF1，
又PF1PF22a，∴F2M2a
又H、O为MF1、F1F2中点，
∴OH
12F2MOHa
∴H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点
2．（1）椭圆中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离
证明：设PQ中点S，作PM⊥l于M，SA⊥l于A，QN⊥l于N
1
1
SA2PMQN2ePF2QF2
1
1
2PF2QF22PQr
∴以PQ为直径的圆必与对应准线相离（2）双曲线中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交证明：PB为焦点弦，S为PQ中点，作PCl于C
SMl于M，QDl于D
则SM1PCQD1PFFQ1PQ
2
2e
2
∴1PQSA2
∴以PQ为直径的圆必与对应准线相离
注：抛物线中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相切3．（1）椭圆中，椭圆焦三角形中以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内
切
证明：如图，设以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，圆心为O1，由椭圆定义知MF1MF2ABMF1ABMF2
∴

OO1

12

MF1

12

AB



MF2


a

r1
∴⊙O、⊙O1
相内切
（2）双曲线焦三角形中以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切或内切
证明：以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，圆心为O1；以MF1为直径的圆的半径为r2，圆心为O2，
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由双曲线定义知MF1MF2AB
∴OO1

12

F1M

12
MF2



AB


r1

a
，
∴圆O1与圆O外切又MF1ABMF2
∴OO2

12

F2M

12

MF1


AB


r2
a
，
∴圆O2与圆O内切
4．（1）设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）
证明：设旁切圆切x轴于A，切PF2于M，F1P于N，则PNPMMF2MAF1NF1A∴PF1PMr