DCDE∴CBE是等腰三角形设BC与⊙O1交于点M，连接OM，则OMB90又∵OCOB∴BOC2DOM2DBC2DBFDO1F又∵BOC，DO1F分别是等腰BOC，等腰DO1F的顶角∴BOC∽DO1F
AO
DCMEO1B
12（乙）、证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等的性质知：
CIDIADIDA，CDICDBBDIBACIDAIADIDA
∴CIDCDI，CICD同理，CICB故点C是IBD的外心连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OAOC∴OIAC，即OICI故OI是IBD外接圆的切线（2）如图，过点I作IEAD于点E，设OC与BD交于点F由BCCD，知OCBC
⌒⌒
A
OB
I
E
D
C
数学周报杯2012年全国初中数学竞赛试题及参考答案第14页共16页
f∵CBFIAE，BCCIAI∴RtBCFRtAIE∴BFAE又∵I是ABD的内心∴ABADBD2AEBDBD2BFBD故ABAD2BD也可由托勒密定理得：ABCDADBCACBD，再将AC2BC2CD代入即得结论
ABAD2BD
13（甲）、解：设abm（m是素数）ab
2（
是自然数），∵ab4abab
222
∴2am4
2m2，2am2
2am2
m2（1）
1时，当因为2am2
与2am2
都是正整数，2am2
2am2
（m且为素数，所以2am2
m2，2am2
1解得：a
m12，
4


于是bam
m12
4
m214
又a2012，即a
m12
4
2012
又∵m是素数，解得m89此时，a
8912
4
2025
当a2025时，m89，b1936，
1980此时，a的最小值为2025（2）当
0时，因为a2012，所以b0，从而得a的最小值为2017（素数）综上所述，所求的a的最小值为201713（乙）、解：设凸
边形最多有k个内角等于150，则每个150内角的外角都等于30，而凸
边形的
个外角和为360，所以k下面我们讨论
12时的情况：（1）当
12时，显然，k的值是11；（2）当
3，4，5，6，7时，k的值分别为1，2，3，4，5；（3）当
8，9，10，11时，k的值分别为7，8，9，10综上所述，当3
7时，凸
边形最多有
2个内角等于150°；当8
11时，凸
边形最多有
1个内角等于150°；
12时，
边形最多有12个内角等于150°；
12时，当凸当凸
边形最多有11个内角等于150°。14（甲）、解r