:由于x1,x2,,x2012都是正整数,且x1x2x2012所以x11,x22,,x20122012
数学周报杯2012年全国初中数学竞赛试题及参考答案第15页共16页
36012,只有当
12时,k才有最大值1230
f于是
1220121220122012x1x2x2012122012
当
15时,令x12012,x222012,,x201220122012则
1220121x1x2x2012
当
k1时,其中1k2011,令
x11,x22,,xk1201kk1,2
xk22012kk2,x20122012k2012
则
1220121k2012kk1
x1x2x20122012k
综上,满足条件的所有正整数
为1,2,,2012.14(乙)、解:当
2161时,把2,3,,
分成如下两个数组:
2,2,3,2
8
8
1,161和4,,81,25,2
在数组2,28,81,161中,由于3328,283,2,2所以其中不存在数a,b,c,使得abc在数组4,,81中,由于442815,2所以其中不存在数a,b,c,使得abc所以,
216下面证明当
216时,满足题设条件.
2
2161
不妨设2在第一组,若224也在第一组,则结论已经成立。故不妨设224在第二组。同理可设4428在第一组,28
2
216在第二组。
此时考虑数8.如果8在第一组,我们取a2,b8,c28,此时abc;如果8在第二组,我们取a4,b8,c216,此时abc.综上,
216满足题设条件.所以,
的最小值为216.注:也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到
最小值为65536.
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