322
解：如图，连接AC，BD，OD由AB是⊙O的直径知BCABDA90依题设BFC90，四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴BCFBAD∴RtBCF∽RtBAD∴
B
FCD
O
A
E
BCBACFAD
第10题图甲
∵OD是⊙O的半径，ADCD∴OD垂直平分AC，ODBC∴
DEOE2DEOB
∴DE2CD2AD，CE3AD
数学周报杯2012年全国初中数学竞赛试题及参考答案第12页共16页
f由AED∽CEB，知DEECAEBE∵AE
BA3，BEBA22BA3BA，BA22AD22
∴2AD3AD故CF
ADBC32BCBA222
10（乙）、12解：依题意得
a2b2abab由于
是偶数，ab、ab同奇偶，所以
是4的倍数，即
4k当1
100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对（a，b），则：
kp或kp2，其中p是素数
因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的
有12个。三、解答题11（甲）、解：∵当1x3时，恒有y0∴m34m20，即m10
22
∴m1当x1时，y0；当x3时，y0，即1m31m20
2
且323m3m20，解得m5设方程x2m3xm20的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2m3，x1x2m2．∵∴
119x1x210
x1x21m39，解得m12，或m2x1x2x2m210
∴m1211（乙）、解：∵si
ABC∴AB10由勾股定理，得BOAB2AO26易知ABOACO∴COBO6于是A（0，8），B（6，0），C（6，0）
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AO4，AO8AB5
fy
设点D的坐标为（m，
）由SCOESADE，得SCDBSAOB
COBxED
1111∴BC
AOBO，12
862222
解得：
4∴D为AB的中点，点D的坐标为（3，4）∴CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为ABC的重心∴点E的坐标为（0，
A
8）（也可由直线CD交y轴于点E来求得）3
设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为yax6x6将点E的坐标代入，解得a
227228x．273
故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y12（甲）证明：连接BD、∵OB为⊙O1的直径
F
∴ODB90又∵r