解先构造基函数
lx


xxx




xx

x

flx

xxx

x

xx

lx


xxx



xx

x


lx

xxxx

x

xx


所求三次多项式为
3
yklkx
P3xk0
xxxxxxxxxxxx
＝

＋

－

＋

xxx＝


P3－1＝

第三章、函数逼近与曲线拟合一考核知识点勒让德多项式；切比雪夫多项式；最佳平方逼近曲线拟合；正交多项式曲线拟合最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、多项式拟合。二复习要求1了解函数逼近的基本概念了解范数和内积空间。2了解正交多项式的概念了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质知道其他常用正交多项式。3理解最佳平方逼近的概念掌握最佳平方逼近多项式的求法了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。4了解曲线拟合的最小二乘法并会计算了解用正交多项式做最小二乘拟合。5了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换。例题
1
定义内积fg21
fxgxdx，试在H1
Spa
1x中寻求对于
fxl
x的
最佳平方逼近多项式px
解fxl
x，0x1，1xx
00
2
1dx

1，
1
10
2xdx3
1
2
11
2x2dx7，
1
3
0f
2l
xdx2l
21，
1
1f
2xl
xdx2l
23，
1
4
法方程为
f132
37

2a0
3

a1


2
2l
l
2
2134
，
解得a006371，a106822。所求的最佳平方逼近多项式为
px06822x06371。
2设M2spa
1x2，试在M2中求fxx在区间1，1上的最佳平方逼近元。
解设
0x
11x

x2
f

x在M
中的最
2
佳平方逼近
元为
Pxa00xa11x
则a0和a1满足如下正规方程组

0，1，
00
0，1，
11

a0

a1


0，f

1f


r