证：OP平分∠AOB．
答案与解析）
证明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N
∵S△PAC

12
AC
PM
，S△PBD

1BD2
PN，且S△PAC

S△PBD
∴1ACPM1BDPN
2
2
又∵AC＝BD∴PM＝PN
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又∵PM⊥OA，PN⊥OB
∴OP平分∠AOB
点评）观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边
相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得跟三
角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果
3、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线
分别交DC、AB于C、B两点求证：AD＝AB＋DC
答案）证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，
∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1＝∠2，
∵AF＝ABAE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE
由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，
又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，
∵DE是∠ADC的平分线，∴∠3＝∠4，
又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，
∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．
类型一、全等三角形的性质和判定
如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，
求证：BD＝CE
答案证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°
∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC
DABEAC
在△DAB
与△EAC
中，

AB

AC
∴△DAB≌△EAC（SAS）∴BD＝CE
BC
类型二、巧引辅助线构造全等三角形
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1．作公共边可构造全等三角形：1、在ΔABC中，AB＝AC求证：∠B＝∠C
答案证明：过点
A
作
AD⊥BC
在
Rt△ABD
与
Rt△ACD
中

ABAD

ACAD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C
2．倍长中线法：
1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．
求证：CD＝2CE．
答案）证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．
∵EC为中线，∴AE＝BE．
AEBE在△AEC与△BEF中，AECBEF∴
CEEF
△AEC≌△BEF（SAS）．
∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）
又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．
∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．
又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．
BFBD在△FCB与△DCB中，FBCDBC∴
BCBC
△FCB≌△DCB（SAS）．∴
CF＝CD．即CD＝2CE．
2、若三角形的两边长分别为5和7则第三边的中线长x的取值范围是

A1＜x＜6B5＜x＜7C2＜x＜12D无法确定
答案A；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项
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