作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD
1求证：∠B与∠AHD互补；2若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明
答案）证明：（1）在AB上取一点M使得AM＝AH连接DM
∵∠CAD＝∠BADAD＝AD∴△AHD≌△AMD∴HD＝MD∠AHD＝∠AMD
∵HD＝DB∴DB＝MD∴∠DMB＝∠B
∵∠AMD＋∠DMB＝180∴∠AHD＋∠B＝180即∠B与∠AHD互补
（2）由（1）∠AHD＝∠AMDHD＝MD∠AHD＋∠B＝180
A
∵∠B＋2∠DGA＝180∴∠AHD＝2∠DGA
∴∠AMD＝2∠DGM
∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM
∴∠DGM＝∠GDM∴MD＝MG
∴HD＝MG∵AG＝AM＋MG∴AG＝AH＋HD
CH
D
M
GB
（3）利用截长或补短法作构造全等三角形：
1、如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC求证：AB－AC＞BD－DC
答案）
证明：在AB上截取AE＝AC连结DE
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CADAEAC
在△AED与△ACD中BADCADADAD
∴△AED≌△ADC（SAS）∴DE＝DC
A
E
B
D
C
在△BED中，BE＞BD－DC
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即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC
2、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
答案与解析
证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，
MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．
ACAE所作，
在△AMC和△AME中，CAMEAM角平分线的定义，

AM

AM
公共边，
∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．
又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．
点评因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，
在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝
MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是
关
键
（4）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段1、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．
求证：AF＝AD＋CF．
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答案与解析）
证明：作ME⊥AF于M，连接EF．
∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．
又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE为∠FAD的平分线，∴ME＝DE．
在
Rt△AME
与
Rt△ADE
中，
AEDE

AE公用边，ME已证，
∴Rt△AME≌Rt△ADEHL．∴AD＝AM全等三角形对应边相等．
又∵E为CD中点，∴DE＝EC．∴ME＝EC．
在
Rt△EMF
与
Rt△ECF
中，
MEEF

CE已证，EF公r