一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”等差数列，“错位相减”等比数列。
数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前
项和。
三、范例
例1．设ap，aq，am，a
是等比数列a
中的第p、q、m、
项，若pqm
，
求证：apaqama
证明：设等比数列a
的首项为a1，公比为q，则
apa1qp1aqa1qq1ama1qm1a
a1q
1所以apaqa12qpq2ama
a12qm
2故apaqama
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端首末两项距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，
即：a1ka
ka1a
对于等差数列，同样有：在等差数列a
中，距离两端等这的两
3
f项之和等于首末两项之和。即：a1ka
ka1a
例2．在等差数列a
中，a4a6a8a10a12120，则2a9a10
A20B22C24D28
解：由a4a122a8，a6a102a8及已知或得5a8120，a824而2a9a102a18da19da17da824。故选C
例3．已知等差数列a
满足a1a2a3…a1010，则有Aa1a101＞0Ba2a100＜0Ca3a990Da51512000年北京春季高考理工类第13题
解：显然，a1a2a3…a101

S101

12
a1

a10101

0
故a1a1010从而a2a100a3a99a1a1010
选C
例4．设S
为等差数列a
的前
项之各，S918，a
430
9，S
336，
则
为
A16B21C9
D8
解由于S99a518故a52
所以a5a
4a1a
23032而
S


2
a1

a


2
32
16


336
故
21选B
4
f例5．设等差数列a
满足3a85a13，且a1＞0，S
为其前
项之和，则
S
N中最大的是。1995年全国高中联赛第1题
AS10BS11CS20DS21
解3a85a13
3a17d5a112d故
a


a1

1d

a1

2a139

1

a1402
39
令a
0则
20当
20时a
0
所以S19S20最大，选C
注：也可用二次函数求最值
例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有
A2个B3个C4个D5个
1997年全国高中数学联赛第3题
解：设等差数列首项为a，公差为d，则依题意有：

a
1d9722
2a
1d
2972
因为
是不小于3的自然数，97为素数，故数
的值必为2×972的约数因数，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。
若d0，则d1由式知2×972≥
1d
1故只可能有
97，式化为：a48d97，这时有两组解：
5
f
97
d0
或
a97

97d2a1
若d0，则式r