GB6017120起重机械安全规程第1部分
竞赛辅导
数列等差数列与等比数列
数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列a
的第
项a
与项数下标
之间的函数关系可以用一个公式a
f
来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N或它的有限子集1，2，…
的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的同构关系。
一、等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列a
的通项公式为：前
项和公式为：从1式可以看出，是的一次数函或常数函数，排在一条直线上，由2式知，是的二次函数或一次函数，且常数项为0。在等差数列中，等差中项：且任意两项的关系为：它可以看作等差数列广义的通项公式。从等差数列的定义、通项公式，前项和公式还可推出：
若
二、等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表示。等比数列a
的通项公式是：
前项和公式是：
1h
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在等比数列中，等比中项：且任意两项的关系为
如果等比数列的公比满足0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和又叫所有项的和的公式为：
从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出：
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”等差数列，“错位相减”等比数列。
数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前
项和。三、范例例1．设ap，aq，am，a
是等比数列a
中的第p、q、m、
项，若pqm
，
求证：证明：设等比数列的首项为，公比为q，则说明：这个例题是r