竞赛辅导
数列等差数列与等比数列
数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的
问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。
所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列a
的第
项a
与项数下标
之间的函数关系可以用一个公式a
f
来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N或它的有限子集1，2，…
的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的同构关系。
一、等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列a
的通项公式为：a
a1
1d1
前


项和公式为：S


a1a
2


a1


1d2
2
从1式可以看出，a
是
的一次数函d0或常数函数d0，

a
排在一条直线上，由2式知，S
是
的二次函数d0或一次函
数d0a10，且常数项为0。在等差数列a
中，等差中项：
a
1

a

a
22
且任意两项ama
的关系为：a


am

md
它可以看作等差数列广义的通项公式。
1
f从等差数列的定义、通项公式，前
项和公式还可推出：
a1a
a2a
1a3a
2akak1k123
若m
pqN且m
pq则有ama
apaq
Sm12
1a
S2
12
1a
1SkS2kSkS3kS2kS
kS
1k或等差数列等等
二、等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示。等比数列a
的通项公式是：a
a1q
1
前
项和公式是：

a1q1
S

a11q
a1a1q
q1
1q
1q
在等比数列中，等比中项：a
1a
a
2
且任意两项ama
的关系为a
amq
m
如果等比数列的公比q满足0＜q＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和又叫所有项的和的公式为：
Sa11q
从等比数列的定义、通项公式、前
项和公式可以推出：
2
fa1a
a2a
1a3a
2aka
k1k123
若m
pqN则有apaqama
记
a1a2a3a
则有2
1a
2
12
1a
12
1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Ca
，则Ca
是等比数列。在这个意义下，我们说：r