费最省问D点应选在何处
A
D100km
B
20km
C
图1
解设ADxkm，那末DB100x，
CD202x2400x2．
出于铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3：5，因此
我们不妨设铁路上每公里的运费为3k．公路上每公里的运费为5kk为某个正
数，因它与本题的解无关，所以不必定出．设从B点到C点需要的总运费为y，那末
y5kCD3kDB
即y5k400x23k100x0x100．
f学习好资料
欢迎下载
现在，问题就归结为：x在0，100内取何值时目标函数y的值最小．先求y对x的导数：yk5x3
400x2解方程y0，得x15km．
由于
yx040k0，
yx15380k，
yx100500k
1125
，其中以
yx1538k0为最小，因此，当ADx15km时，总运费为最省．
在求函数的最大值或最小值时，特别值得指出的是下述情形：fx在一个
区间有限或无限，开或闭内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数fx的极值点，那末，当fx0是极大值时，fx0就是fx在该区间上的最大值图2a；当fx0是极小值时，fx0就是fx在该区间上的最小值图2b．在应用问题中往往遇着这样的情形．
y
y
yfx
yfx
fx0
Oax0a
bx
图2
Oa
fx0
x0b
bx
还要指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数fx确有
最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果fx在定义区间内部只
有一个驻点x0，那末不必讨论fx0是不是极值，就可以断定fx0是最大值或最小值．
f学习好资料
欢迎下载
例3把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁图3．间矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大
解由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为W1bh2．6
由图316看出．b与h有下面的关系：
h2d2b2，
因而
W1d2bb3．6
dh
b
图3
这样，W就是自变量b的函数，b的变化范围是0d．现在，问题化为：b
等于多少时目标函数W取最大值为此，求W对b的导数：W1d23b26
令W0，解得
b1d3
由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在0d内部取得；W0在0d内
只有一个根b1d，所以，当b1d时，W的值最大．这时，
3
3
h2d2b2d21d22d2，33
即
h2d，
3
dhb321
二、函数图形的描绘借助于一阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上上升，在哪个区间上下
f学习好资料
欢迎下载
降r