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习题课
教学目的与要求:Ⅰ教学目的与要求:1.理解洛尔Roll定理和拉格朗日lagra
ge定理.2.了解柯西Cauchy定理和泰勒Taylor定理.3.理解函数的极值概念,并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法.4.会用导数判断函数图形的凹凸性;会求拐点;会描绘函数的图形包括水平和铅直渐近线;会求解较简单的最大值和最小值的应用问题.5.会用洛比塔L’Hospital法则求不定式的极限6.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.典型方法与例题:Ⅱ典型方法与例题:例1设fx在ab上连续.ab内f′′x存在.在连接Aafa和Bbfb的线段AB它与曲线yfx相交于Ccfcacb,证明在ab内至少存在一点ξ使f′′ξ0.证明
fx在ac、cb上满足拉格朗日定理条件,则
f′ξ1
fcfaca
aξ1c
f′ξ2
fbfcbc
cξ2b
由于Aafa、Bbfb、Ccfc三点共线,则有
fcfafbfcfbfaKABcabcba
故对f′ξ在ξ1ξ2上应用洛尔定理得
KAB为AB的斜率
f′′ξ0
,ξ∈ξ1ξ2ab
例2设fx在ab上连续,在ab内可导0ab.试证:存在ξ∈ab,使得
fbfaξf′ξ
l
bl
a
分析所证结论等价于
fbfaf′ξ,形式上与柯西定理类似.1l
bl
a
ξ
证明
令gxl
x,由柯西定理知
ffbfaf′ξ1l
bl
a
ξ∈ab,
ξ
例3设在0a上f′′x≤M,且fx在0a内取得最大值.试证:
f′0f′a≤Ma
证明因fx在0a内取得最大值,且在0a上可导,所以由费马定理知,至少存在一点c∈ab,使f′c0.又对f′x在0c,ca上应用拉格朗日定理,得
f′cf′0f′′ξ1c0,ξ1∈0cf′af′cf′′ξ2ac,ξ2∈ca
即f′0cf′′ξ1,f′aacf′′ξ2.所以
f′0f′acf′′ξ1acf′′ξ2≤cMacMMa
例4设fx在0a上连续、在0a内可导.且f00,f′x单增加.试证:
fx在0a内也单调增加xfxfxf0证明因为f′ξ,ξ∈0x,且f′x单调增加,而xx0fxξx,所以f′ξf′x,即f′x,xf′xfx0,x′xf′xfxxf′xfxfx0,亦即0,x∈0a2xxx2

fx在(0a)内单调增加x
1
例5求下列极限:
xarcsi
x(1)limx→0sir
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