习题课
教学目的与要求：Ⅰ教学目的与要求：1．理解洛尔Roll定理和拉格朗日lagra
ge定理．2．了解柯西Cauchy定理和泰勒Taylor定理．3．理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法．4．会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会描绘函数的图形包括水平和铅直渐近线；会求解较简单的最大值和最小值的应用问题．5．会用洛比塔L’Hospital法则求不定式的极限6．了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径．典型方法与例题：Ⅱ典型方法与例题：例1设fx在ab上连续．ab内f′′x存在．在连接Aafa和Bbfb的线段AB它与曲线yfx相交于Ccfcacb，证明在ab内至少存在一点ξ使f′′ξ0．证明
fx在ac、cb上满足拉格朗日定理条件，则
f′ξ1
fcfaca
aξ1c
f′ξ2
fbfcbc
cξ2b
由于Aafa、Bbfb、Ccfc三点共线，则有
fcfafbfcfbfaKABcabcba
故对f′ξ在ξ1ξ2上应用洛尔定理得
KAB为AB的斜率
f′′ξ0
，ξ∈ξ1ξ2ab
例2设fx在ab上连续，在ab内可导0ab．试证：存在ξ∈ab，使得
fbfaξf′ξ
l
bl
a
分析所证结论等价于
fbfaf′ξ，形式上与柯西定理类似．1l
bl
a
ξ
证明
令gxl
x，由柯西定理知
ffbfaf′ξ1l
bl
a
ξ∈ab，
ξ
例3设在0a上f′′x≤M，且fx在0a内取得最大值．试证：
f′0f′a≤Ma
证明因fx在0a内取得最大值，且在0a上可导，所以由费马定理知，至少存在一点c∈ab，使f′c0．又对f′x在0c，ca上应用拉格朗日定理，得
f′cf′0f′′ξ1c0，ξ1∈0cf′af′cf′′ξ2ac，ξ2∈ca
即f′0cf′′ξ1，f′aacf′′ξ2．所以
f′0f′acf′′ξ1acf′′ξ2≤cMacMMa
例4设fx在0a上连续、在0a内可导．且f00，f′x单增加．试证：
fx在0a内也单调增加xfxfxf0证明因为f′ξ，ξ∈0x，且f′x单调增加，而xx0fxξx，所以f′ξf′x，即f′x，xf′xfx0，x′xf′xfxxf′xfxfx0，亦即0，x∈0a2xxx2
故
fx在（0a）内单调增加x
1
例5求下列极限：
xarcsi
x（1）limx→0sir