精品文档
因式分解
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1a2b2abab；2a2±2abb2a±b2；3a3b3aba2abb2；4a3b3aba2abb2．下面再补充几个常用的公式：5a2b2c22ab2bc2caabc2；6a3b3c33abcabca2b2c2abbcca；7a
b
aba
1a
2ba
3b2…ab
2b
1其中
为正整数；8a
b
aba
1a
2ba
3b2…ab
2b
1，其中
为偶数；9a
b
aba
1a
2ba
3b2…ab
2b
1，其中
为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
精品文档
f精品文档
例1分解因式：12x5
1y
4x3
1y
22x
1y
4；2x38y3z36xyz；3a2b2c22bc2ca2ab；4a7a5b2a2b5b7．解1原式2x
1y
x4
2x2
y2y4
2x
1y
x2
22x2
y2y222x
1y
x2
y222x
1y
x
y2x
y2．2原式x32y3z33x2yZx2yzx24y2z22xyxz2yz．3原式a22abb22bc2cac2＝ab22cabc2abc2．本小题可以稍加变形，直接使用公式5，解法如下：原式a2b2c22bc2ca2ababc24原式a7a5b2a2b5b7a5a2b2b5a2b2a2b2a5b5
精品文档
f精品文档
abababa4a3ba2b2ab3b4ab2aba4a3ba2b2ab3b4例2分解因式：a3b3c33abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式6．分析我们已经知道公式
ab3a33a2b3ab2b3的正确性，现将此公式变形为
a3b3ab33abab．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式ab33ababc33abc
［ab3c3］3ababcabc［ab2cabc23ababcabca2b2c2abbcca．说明公式6是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式6变形为a3b3c33abc
精品文档
f精品文档
显然，当abc0时，则a3b3c33abc；当abc＞0时，则a3b3c33abc≥0，即a3b3c3≥3abc，而且，当且仅当abc时，等号成立．
如果令xa3≥0，yb3≥0，zc3≥0，则有
等号成立的充要条件是xyz．这也是一个常用的结论．例3r