12b和一个极小值点2
x2
112b2
112b2
综上可知，b＜0，时，f（x）在（1，∞）上有唯一的极小值点x2时，f（x）有一个极大值点x1
112b112b和一个极小值点x222
12分
b
1时，函数f（x）在（1，∞）上无极值点．2
f20解：1设圆心为Cx，y，线段MN的中点为T，则MNMT＝2＝4
222依题意，得CP2＝CM2＝MT2＋TC2，∴yx44x，2
1分
∴y28x为动圆圆心C的轨迹方程．2证明：设直线l的方程为x＝ky＋2，A（x1y1）B（x2y2）由
4分5分7分
xky2y8x
2
2，得y－8ky－16＝064k2640。
→→∴y1＋y2＝8k，y1y2＝－16，OA＝x1，y1，OB＝x2，y2．→→∵OAOB＝x1x2＋y1y2＝ky1＋2ky2＋2＋y1y2＝ky1y2＋2ky1＋y2＋4＋y1y2＝－16k＋16k＋4－16＝－12→→∴OAOB是一个定值．21
222
8分9分
11分12分
（2）设Mx1y1Nx2y2Qx3y3，直线OQxmy，则直线MNxmy3，
22112m2112m2xmyxx37m2167m216由x2y2可得：，∴，112112122yy16737m2167m216
f∴OQ2x2y2112m332
112m211127m167m2167m216
2
xmy342m497m216y242my490，y1y2由x2y2可得：∴y1y2，27m167m161167
∴MN
x2x1y2y1
2
2
2my23my13y2y1m1y2y122
m21
y1y2
2
2242m4956m1．4y1y2m214227m2167m167m16
∴
2161∴MN和OQ2的比值为一个常数，这个常数为1．7m22112m12OQ2
MN
56m21
7m216
22解1由ρ＝23si
θ，得ρ2＝23ρsi
θ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋y－32＝3312设P3＋t，t22，又C0，3，则PC＝
21233＋2t＋t－3＝t2＋12，2
故当t＝0时，PC取得最小值，此时，P点的直角坐标为3，0
f11223解1由ab＝a＋b≥ab，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立所以a3＋b3的最小值为422由1知，2a＋3b≥26ab≥43由于436，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6
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