四边形，∴OF∥BE，且OF＝BE＝2，又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD以O为原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B0，2，0，D0，－1，0，F0，0，2，C－1，0，0，D→F＝0，1，2，＝1，－1，0，＝0，－2，2，设平面DFC的一个法向量为
＝x，y，z，有即xy－＋y2＝z＝00，不妨设z＝1，得x＝y＝－2，得
＝－2，－2，1于是cos〈
，〉＝＝设BF与平面DFC所成角为θ，则si
θ＝cos〈
，〉＝∴BF与平面DFC所成角的正弦值为探究提高1异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cosθ＝cosφ2直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即si
θ＝cosφ，有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两方向向量的夹角或其补角
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f【训练2】20xx江苏卷如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点1求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；2求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值解如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB以，，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz因为AB＝AA1＝2，所以A0，－1，0，B，0，0，C0，1，0，A10，－1，2，B1，0，2，C10，1，21因为P为A1B1的中点，所以P，从而＝，＝0，2，2，故cos〈，〉＝＝＝因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为2因为Q为BC的中点，所以Q，因此＝，＝0，2，2，＝0，0，2设
＝x，y，z为平面AQC1的一个法向量，则即23x＋32y＝0，
2y＋2z＝0
不妨取
＝，－1，1设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，则si
θ＝cos〈，
〉＝＝＝，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为
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f考法2二面角的计算【例2－2】20xx福州模拟如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1＝4，AB＝2，AC＝2，∠BAC＝45°，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点1证明：BC⊥B1M；2若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角M－B1C－A的余弦值1证明在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC＝4＋8－2×2×2×cos45°＝4，∴BC＝2，则有AB2＋BC2＝8＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又∵BB1⊥BC，BB1∩AB＝B，∴BC⊥平面r