ABB1A1，又B1M平面ABB1A1，故BC⊥B1M2解由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥C－ABB1M和四棱锥B1－A1MCC1由1知四棱锥C－ABB1M的高为BC＝2，∵V三棱柱ABC－A1B1C1＝×2×2×4＝8，∴V四棱锥C－ABB1M＝V柱＝4，又V四棱锥C－ABB1M＝S梯形ABB1MBC＝S梯形ABB1M＝4，∴S梯形ABB1M＝6＝×2，∴AM＝2此时M为AA1中点，以点B为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz
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f∴A2，0，0，C0，2，0，B10，0，4，M2，0，2∴＝0，－2，4，＝2，0，－2，＝－2，2，0，设
1＝x1，y1，z1是平面CB1M的一个法向量，∴即2－x12－y12＋z14＝z10＝0，令z1＝1，可得
1＝1，2，1，设
2＝x2，y2，z2是平面ACB1的一个法向量，∴即－－22xy22＋＋24yz22＝＝00，令z2＝1，得
2＝2，2，1，∴cos〈
1，
2〉＝＝＝所以二面角M－B1C－A的余弦值等于探究提高1二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角或其补角或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角2利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的【训练3】20xx北京卷如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝21求证：AC⊥平面BEF；2求二面角B－CD－C1的余弦值；3证明：直线FG与平面BCD相交1证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形
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f又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF因为AB＝BC，所以AC⊥BE又EF∩BE＝E，所以AC⊥平面BEF2解由1知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1，又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，因为BE平面ABC，所以EF⊥BE如图建立空间直角坐标系E－xyz，由题意得B0，2，0，C－1，0，0，D1，0，1，F0，0，2，G0，2，1所以＝－1，－2，0，＝1，－2，1设平面BCD的法向量为
＝x0，y0，z0，则即xx00＋－22yy00＝＋0z0，＝0令y0＝－1，则x0＝2，z0＝－4于是
＝2，－1，－4又因为平面CC1D的法向量为＝0，2，0，所以cos〈
，〉＝＝－由题知二面角B－CD－C1为钝角，所以其余弦值为－3证明由2知平面BCD的法向量为
＝2，－1，－4，＝0，2，－1因为
＝2×0＋－1×2＋r