，试求函数的极值．解：f′x＝1－ax＝x－xa，x01当a≤0时，f′x0，函数fx为0，＋∞上的增函数，函数fx无极值；
f2当a0时，由f′x＝0，解得x＝a又当x∈0，a时，f′x0；当x∈a，＋∞时，f′x0，从而函数fx在x＝a处取得极小值，且极小值为fa＝a－al
a，无极大值．综上，当a≤0时，函数fx无极值；当a0时，函数fx在x＝a处取得极小值a－al
a，无极大值．2．已知函数fx＝1＋xl
xx≥1，1试判断函数fx的单调性，并说明理由；
2若fx≥x＋k1恒成立，求实数k的取值范围．
解：1f′x＝－l
x2x，∵x≥1，∴l
x≥0，∴f′x≤0故函数fx在1，＋∞上单调递减．2∵x≥1，∴fx≥x＋k1x＋1x1＋l
x≥k，
令gx＝x＋1x1＋l
x，
∴g′x＝x＋11＋l

x′x－x＋11＋l
x2
x＝x－xl2

x
再令hx＝x－l
x，则h′x＝1－1x∵x≥1，则h′x≥0，∴hx在1，＋∞上单调递增．∴hxmi
＝h1＝10，从而g′x0，故gx在1，＋∞上单调递增，∴gxmi
＝g1＝2，∴k≤2故实数k的取值范围为－∞，2
生活中的优化问题
优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档．
考点精要
1解决优化问题的策略①要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
f②要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
2求实际问题的最大小值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．3在实际问题中，由f′x＝0常常仅得到一个根，若能判断函数的最大小值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大小值．典例某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池不计厚度．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元平方米，底面的建造成本为160元平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元π为圆周率．1将V表示成r的函数Vr，并求该函数的定义域．2讨论函数Vr的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解1因为蓄水池侧面的总成本为1002πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为200πrh＋160πr2元．又据题意知200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝51r300－4r2，从而Vr＝πr2h＝π5300r－4r3．因为r＞0，又由h＞0可得r＜53，故函数Vrr