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勾股定理的应用
考点分析:
勾股定理在实际生活中的应用较为广泛,它常常单独命题,有时也与方程、
函数,四边形等知识综合在一起考查,在中考试卷中的常见题型为填空题、选择
题和较简单的解答题
典例剖析
例1.如图16(1)所示,一个梯子AB长25米,
A
顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离
为15米,梯子滑动后停在DE位置上,如图10(2)所示,
测得得BD05米,求梯子顶端A下落了多少米?
C
分析:梯子顶端A下落的距离为AE,
即求AE的长.已知AB和BC,根据勾股定理可求AC,
图16B((11))
只要求出EC即可。
解:在Rt△ACB中,AC2AB2BC22521524,
AE
C
BD
图16(2)(2)
∴AC2,∵BD05,∴CD2在RtECD中,EC2ED2CD225222225
∴EC15,AEACEC21505,所以,梯子顶端下滑了05米.点评:在实际生活、生产及建筑中,当人们自身高度达不到时,往往要借助
于梯子,这时对梯子的选择,及梯子所能达到的高度等问题,往往要用到勾股定
理的知识来解决.但要注意:考虑梯子的长度不变.
例2.有一根竹竿不知道它有多长把竹竿横放在一扇门前竹竿长比门宽
8
f多4尺;把竹竿竖放在这扇门前竹竿长比门的高度多2尺;把竹竿斜放,竹竿长正好和门的对角线等长问竹竿长几尺
分析:只要根据题意,画出图形,然后利用勾股定理,列出方程解之解:设竹竿长为x尺。则:(x—4)2(x—2)2x2x110,x22(不合题意舍去)答:竹竿长为10尺。评注:本题是勾股定理与方程的综合应用问题,它综合考查了同学们的建模思想和方法的理解和运用,符合新课程标准的理念,请注意这类问题!北例3.如图17,客轮在海上以30kmh的速度由B向C航行,在B
B处测得灯塔A的方位角为北偏东80,测得C处的方位角为南偏东25,
A
东D
航行1小时后到达C处,在C处测得A的方位角为北偏东20,则C到A的距离是()
A.156km;B.152km;C.1562km;D.5632km
C
图17
分析:本题是一道以航海为背景的应用题,由已知条件分析易知△ABC不是直角三角形,这就需要作三角形的高,将非直角三角形转化为直角三角形,问题便可得到解决.
解:由条件易得:∠C450,∠ABC750,则∠A600,过B作BD⊥AC,垂足为D,∴△BCD是等腰直角三角形,又∵BC30km,由勾股定理得:
2CD2302,∴CD152,∴BD152,设ADx,则AB2x,由勾股定理得:
BD3x,∴3x152,∴x56,∴AC15256,故选D.点评:在航海中,有时需要求两船或船与某地方的距离,以保证航海的安
全,有时就r
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