第六节函数的奇偶性及周期性
一、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝fx，那么函数fx是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝－fx，关于原点对称
那么函数fx是奇函数
二、周期性
1．周期函数对于函数y＝fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx＋T＝fx，那么就称函数y＝fx为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期．
课前检测
1．下列函数为偶函数的是A．y＝si
x
B．y＝x3
C．y＝ex
D．y＝l
x2＋1
解析：选D四个选项中的函数的定义域都是Ry＝si
x为奇函数．幂函数y＝x3也为
奇函数．指数函数y＝ex为非奇非偶函数．令fx＝l
x2＋1，得f－x＝l
－x2＋1＝l

x2＋1＝fx．所以y＝l
x2＋1为偶函数．
2．已知fx＝ax2＋bx是定义在a－12a上的偶函数，那么a＋b的值是
A．－13
1B3
1C2
D．－12
解析：选B∵fx＝ax2＋bx是定义在a－12a上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝13又f－x＝fx，
∴b＝0，∴a＋b＝13
3．已知定义在R上的奇函数fx，满足fx＋4＝fx，则f8的值为
A．－1
B．0
fC．1
D．2
解析：选B∵fx为奇函数且fx＋4＝fx，
∴f0＝0，T＝4∴f8＝f0＝04．若函数fx＝x2－x＋a为偶函数，则实数a＝________
解析：法一：∵f－x＝fx对于x∈R恒成立，∴－x＋a＝x＋a对于x∈R恒成立，两边平
方整理得ax＝0，对于x∈R恒成立，故a＝0
法二：由f－1＝f1，
得a－1＝a＋1，故a＝0答案：05．设函数fx＝x3cosx＋1若fa＝11，则f－a＝________解析：观察可知，y＝x3cosx为奇函数，且fa＝a3cosa＋1＝11，故a3cosa＝10则f－
a＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9答案：－9
1奇、偶函数的有关性质：1定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；3若奇函数fx在x＝0处有定义，则f0＝0；4利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足fx＋T＝fx，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意
T
∈Z且
≠0也是函数的周期．
一、函数奇偶性的判断例1设Q为有理数集，函数fx＝1－r