a2＋a2＝5a，
若a＞0，则r＝5a，角α
在第二象限，si

y3a3α＝r＝5a＝5，
cosα＝xr＝－5a4a＝－45ta
α＝yx＝－3a4a＝－34；
若a＜0，则r＝－5a，
角α在第四象限，si
α＝－35，
4
3
cosα＝5，ta
α＝－4
规律方法已知角α终边上任一点的坐标m，
利用定义求ta
α时，其值与该点的位置
无关且ta
α＝m但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：
α
0
π6
π4
π3
2π
3π
3
4
5π6
ta
α0
33
1
3
－3－1
3－3
【训练1】若ta
α＝12，利用三角函数的定义，求si
α和cosα
解∵ta
α＝12＞0，∴角α是第一或第三象限角．
①若角α
是第一象限角，则由ta

1α＝2，角α
的终边上必有一点P21，
∴r＝OP＝22＋12＝5
∴si

α
＝yr＝
1＝5
55，cos
α
＝xr＝
2＝25
5
5
②若角α是第三象限角，则由ta
α＝12知，角α的终边上必有一点P－2，－1，
∴r＝OP＝－2＋－2＝5
∴si
α＝yr＝－51＝－55，cosα＝xr＝－52＝－255题型二正切函数的图像及应用
f【例2】利用正切函数的图像作出y＝ta
x的图像并写出使y＝3的x的集合．解∵当x∈kπ－π2，kπ时，y＝ta
x≤0，当x∈kπ，kπ＋π2时，y＝ta
x＞0，
－ta
x，x∈kπ－π2，kπ，k∈Z，
∴y＝ta
x＝
ta
x，x∈kπ，kπ＋π2，k∈Z
如图所示．
使y＝3的x的集合为xx＝kπ±π3，k∈Z


规律方法1作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从
而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是－π4，－1，
00，π4，1，两线是直线x＝±π2为渐近线．2．如果由y＝fx的图像得到y＝fx及y＝fx的图像，可利用图像中的对称变换法
完成；即只需作出y＝fxx≥0的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝fxx≤0
的图像；同理只要作出y＝fx的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝fx的
图像．
【训练2】1函数y＝1＋t1a
x的定义域为________．
1＋ta
x≠0，解析要使该函数有意义，则有x≠kπ＋π2k∈Z，
即x≠kπ－π4且x≠kπ＋π2
答案xx≠kπ－π4，且x≠kπ＋π2，k∈Z

2根据正切函数的图像，写出ta
x≥－1的解集．
解作出y＝ta
x及y＝－1的图像，如下图．
f∴满足此不等式的x的集合为
x－π4＋kπ≤x＜π2＋kπ，k∈Z


方向1比较大小【例3r