§8函数y＝Asi
ωx＋φ的图像与性质二
内容要求1掌握函数y＝Asi
ωx＋φ的周期、单调性及最值的求法重、难点2理解函数y＝Asi
ωx＋φ的对称性难点．
知识点函数y＝Asi
ωx＋φA＞0，ω＞0的性质
定义域
R
值域
－A，A
周期
T＝2π
ω
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asi
ωx＋φ是奇函数；φ＝kπ＋π2，k∈Z时，y＝Asi
ωx＋φ是偶函数
对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋π2k∈Z求得
对称中心由ωx＋φ＝kπk∈Z求得
单调性
递增区间由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2k∈Z求得；递减区间由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32πk∈Z求得
【预习评价】
1函数y＝2si
2x＋π6＋1的最大值是

A．1C．3
B．2D．4
解析当2x＋π6＝2kπ＋π2时，即x＝kπ＋π6k∈Z时最大值为3
答案C
2函数fx＝si
2x＋π3的最小正周期为
A．4π
B．2π
C．π
Dπ2
解析由题意T＝22π＝π，故选C
答案C
题型一函数y＝Asi
ωx＋φ的最值问题
f【例1】求函数y＝2si
2x＋π4，x∈0，π2的值域．解∵0≤x≤π2，∴0≤2x≤π∴π4≤2x＋π4≤5π4∴－22≤si
2x＋π4≤1∴－1≤2si
2x＋π4≤2，即－1≤y≤2∴函数y＝2si
2x＋π4，x∈0，π2的值域为－1，2．规律方法求函数y＝Asi
ωx＋φ，x∈m，
的值域的步骤：1换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；2作出y＝si
u注意u的取值范围的图像；
3结合图像求出值域．
【训练1】求函数y＝2si
2x＋π3－π6≤x≤π6的最大值和最小值．解∵－π6≤x≤π6，∴0≤2x＋π3≤23π，∴0≤si
2x＋π3≤1∴当si
2x＋π3＝1时，ymax＝2；当si
2x＋π3＝0时，ymi
＝0
方向1求函数y＝Asi
ωx＋φ的周期【例2－1】求下列函数的周期：1y＝si
2x＋π3x∈R；2y＝si
π2x＋π6x∈R．解1T＝2π2＝π
f2T＝2ππ＝42
方向2函数y＝Asi
ωx＋φ的奇偶性与对称性
【例2－2】1函数y＝si
2x＋π3的图像的对称轴方程为________，对称中心为
________．
2若函数fx＝2si
2x－π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是

A5π6
Bπ2
Cπ3
D．－π2
解析1令y＝±1，即si
2x＋π3＝±1，则2x＋π3＝kπ＋π2k∈Z，∴x＝k2π＋π12k∈Z，即对称轴方程为x＝k2π＋1π2k∈Z．令y＝0，即si
2x＋π3＝0，则2x＋π3＝kπk∈Z，∴x＝kπ2－π6k∈Z，∴函数y＝si
2r